Уравнение медианы треугольника

Как составить уравнение медианы треугольника по координатам его вершин?

Медиана соединяет вершину треугольника с серединой противолежащей стороны. Следовательно, при решении задачи составления уравнения медианы нужно:

  1. Найти координаты середины отрезка по координатам его концов.
  2. Составить уравнение прямой, проходящей через две точки: найденную середину отрезка и противолежащую вершину.

Пример.

Дано: ΔABC, A(3;1), B(6;-3), C(-3;-7).

Найти уравнения медиан треугольника.

Решение:

Обозначим середины сторон BC, AC, AB через A1, B1, C1.

1) По формулам координат середины отрезка

    \[x_{A_1 } = \frac{{x_B + x_C }}{2} = \frac{{6 + ( - 3)}}{2} = 1,5;\]

    \[y_{A_1 } = \frac{{y_B + y_C }}{2} = \frac{{ - 3 + ( - 7)}}{2} = - 5.\]

Уравнение медианы AA1 будем искать в виде y=kx+b.

Найдём уравнение прямой, проходящей через точки A(3;1) и A1(1,5;-5). Составляем и решаем систему уравнений:

    \[\left\{ \begin{array}{l} 1 = k \cdot 3 + b; \\ - 5 = k \cdot 1,5 + b. \\ \end{array} \right.\]

Отсюда k= 4; b= -11.

Уравнение медианы AA1: y=4x-11.

2) Аналогично, координаты точки B1 — середины отрезка AC

    \[x_{B_1 } = \frac{{x_A + x_C }}{2} = \frac{{3 + ( - 3)}}{2} = 0;\]

    \[y_{B_1 } = \frac{{y_A + y_C }}{2} = \frac{{1 + ( - 7)}}{2} = - 3.\]

Можно в уравнение y=kx+b подставить координаты точек B(6;-3) и B1(0;-3) и найти k и b. Но так как ординаты обеих точек равны, уравнение медианы  BB1 можно найти ещё быстрее: y= -3.

3) Координаты точки C1 — середины отрезка BC:

    \[x_{C_1 } = \frac{{x_A + x_B }}{2} = \frac{{3 + 6}}{2} = 4,5;\]

    \[y_{C_1 } = \frac{{y_A + y_B }}{2} = \frac{{1 + ( - 3)}}{2} = - 1.\]

C(-3;-7), C(4,5;-1), y=kx+b:

    \[\left\{ \begin{array}{l} - 7 = k \cdot ( - 3) + b; \\ - 1 = k \cdot 4,5 + b; \\ \end{array} \right. \Rightarrow k = 0,8;b = - 4,6.\]

Отсюда уравнение медианы CC1 : y=0,8x-4,6.

uravnenie-mediany-treugolnika

Добавить комментарий