Радиус вписанной в прямоугольный треугольник окружности

Утверждение.

Радиус вписанной в прямоугольный треугольник окружности равен

    \[r = \frac{{a + b - c}}{2},\]

где a и b — катеты, c — гипотенуза.

Доказательство:

radius-vpisannoj-v-pryamougolnyj-treugolnik-okruzhnostiПусть в прямоугольном треугольнике ABC катеты BC=a, AC=b, гипотенуза AB=c.

Проведём радиусы OK, OM, ON к сторонам треугольника.

    \[OK \bot AC,OM \bot BC,ON \bot AB\]

(как радиусы, проведённые в точку касания).

    \[AK = AN,BM = BN,CK = CM\]

(как отрезки касательных, проведённых из одной точки).

Отсюда следует, что четырёхугольник CKOM — квадрат, стороны которого равны радиусу вписанной в треугольник ABC окружности: CK=CM=OM=OK=r.

Следовательно,

    \[a + b = BC + AC = BM + CM + AK + CK = \]

    \[= BN + CM + AN + CK = (BN + AN) + CM + CK = \]

    \[= c + 2r,\]

то есть

    \[a + b = c + 2r, \Rightarrow 2r = a + b - c,\]

Таким образом, формула радиуса вписанной в прямоугольный треугольник окружности

    \[r = \frac{{a + b - c}}{2}\]

Что и требовалось доказать.

Добавить комментарий