Уравнение высоты треугольника

Как составить уравнение высоты треугольника по координатам его вершин?

Высота треугольника — это перпендикуляр, опущенный из вершины треугольника к прямой, содержащей противолежащую сторону.

Следовательно, для составления уравнения высоты треугольника нужно:

  1. Найти уравнение стороны треугольника.
  2. Составить уравнение прямой, перпендикулярной этой стороне и проходящей через противолежащую вершину треугольника.

Пример.

Дано: ΔABC, A(-7;2), B(5;-3), C(1;8).

Написать уравнения высот треугольника.

Решение:

1) Составим уравнение стороны BC треугольника ABC.

Прямая y=kx+b проходит через точки B(5;-3), C(1;8), значит, координаты этих точек удовлетворяют уравнению прямой. Подставив координаты B и C в уравнение прямой, составляем систему уравнений и решаем её:

    \[\left\{ \begin{array}{l} - 3 = k \cdot 5 + b; \\ 8 = k \cdot 1 + b; \\ \end{array} \right. \Rightarrow k = - \frac{{11}}{4};b = \frac{{43}}{4}.\]

Таким образом, уравнение прямой BC —

    \[y = - \frac{{11}}{4}x + \frac{{43}}{4}.\]

Угловой коэффициент прямой, перпендикулярной BC,

    \[k_2 = - \frac{1}{{k_1 }} = - \frac{1}{{ - \frac{{11}}{4}}} = \frac{4}{{11}}.\]

Значит, уравнение высоты, проведённой к стороне BC, имеет вид

    \[y = \frac{4}{{11}}x + b.\]

Поскольку эта прямая проходит через точку A(-7;2), подставляем координаты точки в уравнение и находим b:

    \[2 = \frac{4}{{11}} \cdot ( - 7) + b, \Rightarrow b = \frac{{50}}{{11}}.\]

Итак, уравнение высоты, проведённой к стороне BC:

    \[y = \frac{4}{{11}}x + \frac{{50}}{{11}}.\]

2) Составим уравнение стороны AB треугольника ABC. A(-7;2), B(5;-3):

    \[\left\{ \begin{array}{l} 2 = k \cdot ( - 7) + b; \\ - 3 = k \cdot 5 + b; \\ \end{array} \right. \Rightarrow k = - \frac{5}{{12}};b = - \frac{{11}}{{12}}.\]

Уравнение прямой AB:

    \[y = - \frac{5}{{12}}x - \frac{{11}}{{12}}.\]

Угловой коэффициент перпендикулярной ей прямой

    \[k_2 = - \frac{1}{{k_1 }} = - \frac{1}{{ - \frac{5}{{12}}}} = \frac{{12}}{5} = 2,5.\]

Значит уравнение перпендикулярной AB прямой имеет вид y=2,5x+b. Подставляем в это уравнение координаты точки C(1;8): 8=2,5·1+b, откуда b=5,5.
Получили уравнение высоты, проведённой из точки C к стороне BC: y=2,5x+5,5.
3) Составим уравнение стороны AC треугольника ABC. A(-7;2), C(1;8):

    \[\left\{ \begin{array}{l} 2 = k \cdot ( - 7) + b; \\ 8 = k \cdot 1 + b; \\ \end{array} \right. \Rightarrow k = \frac{3}{4};b = \frac{{29}}{4}.\]

Угловой коэффициент прямой, перпендикулярной AC,

    \[k_2 = - \frac{1}{{k_1 }} = - \frac{1}{{\frac{3}{4}}} = - \frac{4}{3}.\]

Таким образом, уравнение перпендикулярной AC прямой имеет вид

    \[y = - \frac{4}{3}x + b.\]

Подставив в него координаты точки B(5;-3), найдём b:

    \[- 3 = - \frac{4}{3} \cdot 5 + b, \Rightarrow b = \frac{{11}}{3}.\]

Итак, уравнение высоты треугольника ABC, опущенной из вершины B:

    \[y = - \frac{4}{3}x + \frac{{11}}{3}.\]

uravnenie-vysoty-treugolnika

One Comment

  1. Rachel 08.03.2018 20:06 Ответить

    Доброе утро. Спасибо!

Добавить комментарий