Второй признак подобия треугольников

Теорема

(Второй признак подобия треугольников — подобие треугольников по двум пропорциональным сторонам и углу между ними)

Если две стороны одного треугольника пропорциональны двум сторонам другого треугольника и углы, образованные этими сторонами, равны, то такие треугольники подобны.

vtoroj-priznak-podobiyaДано: ΔABC, ΔA1B1C1,

∠A=∠A1,

    \[\frac{{AB}}{{A_1 B_1 }} = \frac{{AC}}{{A_1 C_1 }}.\]

Доказать: ΔABC∼ ΔA1B1C1

Доказательство:

2-priznak-podobiya1) Отложим на луче A1B1 отрезок A1B2, A1B2=AB.

2) Через точку B2 проведём прямую B2С2, параллельную прямой B1C1.

3) ∠A1B2C2=∠A1B1C1 (как соответственные при B2C2 ∥ B1C1 и секущей A1B1).

4) В треугольниках A1B2C2 и A1B1C1:

  • ∠A1 — общий
  • ∠A1B2C2=∠A1B1C1 (по доказанному)

Поэтому  ΔA1B2C2∼ΔA1B1C1 (по двум углам).

Из подобия треугольников следует пропорциональность соответствующих сторон:

    \[\frac{{A_1 B_2 }}{{A_1 B_1 }} = \frac{{A_1 C_2 }}{{A_1 C_1 }}.\]

5) Так как A1B2=AB и

    \[\frac{{AB}}{{A_1 B_1 }} = \frac{{AC}}{{A_1 C_1 }},\]

то AC=A1C2.

6) В треугольниках ABC и A1B2C2:

  • A1B2=AB (по построению)
  • AC=A1C2 (по доказанному)
  • ∠A=∠A1 (по условию).

Поэтому ΔABC=ΔA1B2C2 (по двум сторонам и углу между ними).

Из равенства треугольников следует равенство соответствующих углов: ∠ABC=∠A1B2C2.

7) Так как ∠A1B2C2=∠A1B1C1, то и ∠ABC=∠A1B1C1.

8) В треугольниках ABC и A1B1C1:

  • ∠A=∠A1 (по условию);
  • ∠ABC=∠A1B1C1 (по доказанному).

Следовательно, ΔABC∼ ΔA1B1C1(по двум углам).

Что и требовалось доказать.

Добавить комментарий