Третий признак подобия треугольников

Теорема

(Третий признак подобия треугольников — подобие треугольников по трём сторонам).

Если три стороны одного треугольника пропорциональны трём сторонам другого треугольника, то такие треугольники подобны.

tretij-priznak-podobiyaДано: ΔABC, ΔA1B1C1,

    \[\frac{{AB}}{{A_1 B_1 }} = \frac{{AC}}{{A_1 C_1 }} = \frac{{BC}}{{B_1 C_1 }}\]

Доказать: ΔABC∼ ΔA1B1C1

Доказательство:

3-priznak-podobiya1) Отложим на луче A1B1 отрезок A1B2, A1B2=AB.

2) Через точку B2 проведём прямую B2С2, параллельную прямой B1C1.

3) В треугольниках A1B2C2 и A1B1C1:

Поэтому  ΔA1B2C2∼ΔA1B1C1 (по двум углам).

Из подобия треугольников следует пропорциональность соответствующих сторон:

    \[\frac{{A_1 B_2 }}{{A_1 B_1 }} = \frac{{A_1 C_2 }}{{A_1 C_1 }} = \frac{{B_2 C_2 }}{{B_1 C_1 }}.\]

4) Поскольку A1B2=AB, то

    \[\frac{{AB}}{{A_1 B_1 }} = \frac{{A_1 C_2 }}{{A_1 B_1 }} = \frac{{B_2 C_2 }}{{B_1 C_1 }}.\]

Так как по условию

    \[\frac{{AB}}{{A_1 B_1 }} = \frac{{AC}}{{A_1 B_1 }} = \frac{{BC}}{{B_1 C_1 }},\]

то A1C2=AC и B2C2=BC.

5) В треугольниках ABC и A1B2C2:

  • A1B2=AB (по построению)
  • B2C2=BC (по доказанному)
  • A1C2=AC (по доказанному).

Значит, ΔABC=ΔA1B2C2 (по трём сторонам).

Из равенства треугольников следует равенство соответствующих углов:

  • ∠A=∠A1
  • ∠ABC=∠A1B2C2.

6) В треугольниках ABC и A1B1C1:

  • ∠A=∠A1 (по условию)
  • Так как ∠A1B2C2=∠A1B1C1, то и ∠ABC=∠A1B1C1.

Отсюда ΔABC∼ ΔA1B1C1 (по двум углам).

Что и требовалось доказать.

3-й признак подобия треугольников используется реже 1-го.

Добавить комментарий