3 признак равенства треугольников

Теорема

(Третий признак равенства треугольников — по трём сторонам)

Если три стороны одного треугольника соответственно равны трём сторонам другого треугольника, то такие треугольники равны.

3-priznak-ravenstva-treugolnikovДано:

ΔABC,

ΔA1B1C1,

AB=A1B1, AC=A1C1, BC=B1C1.

Доказать:

ΔABC= ΔA1B1C1

Доказательство:

Приложим треугольник A1B1C1 к треугольнику ABC так, чтобы

  • вершина A1 совместилась с вершиной A,
  • вершина B1 совместилась с вершиной B,
  • точки C1 и C лежали по разные стороны от прямой AB.

При этом возможны три случая взаимного расположения луча CC1 и угла ACB.

tretij-priznak-ravenstva-treugolnikovI. Луч CC1 проходит внутри угла ACB.

Проведём отрезок CC1.

По условию AC=A1C1 и BC=B1C1, поэтому треугольники ACC1 и BCC1 — равнобедренные с основанием CC1.

По свойству равнобедренного треугольника, ∠ACC1=∠AC1C и ∠BCC1=∠BC1C.

Если к равным углам прибывать равные углы, то получим равные углы:

3priznak-ravenstva-treugolnikov

Таким образом, ∠ACB=∠AC1B.

Точки A1 и A, B1 и B совмещены, то есть ∠AC1B и ∠A1C1B1 — один и тот же угол.

Для треугольников ABC и A1B1C1 имеем:

AC=A1C1, BC=B1C1 (по условию), ∠ACB=∠A1C1B1 (по доказанному).

Следовательно, ΔABC= ΔA1B1C1 (по 1 признаку равенства треугольников).

 

3-j-priznak-ravenstva-treugolnikovII. Луч CC1 проходит внутри угла ACB.

Так как AC=A1C1 и BC=B1C1, треугольники ACC1 и BCC1 — равнобедренные с основанием CC1 и ∠ACC1=∠AC1C и ∠BCC1=∠BC1C (как углы при основании).

Если из равных углов вычесть равные углы, то получим равные углы:

priznak-ravenstva-treugolnikov-3

Таким образом, ∠ACB=∠AC1B и ΔABC= ΔA1B1C1 (по 1 признаку равенства треугольников).

 

3r-j-priznak-ravenstva-treugolnikovIII. Луч CC1 совпадает со стороной угла ACB.

По условию BC=B1C1, поэтому треугольник BCC1 — равнобедренный с основанием CC1.

Отсюда ∠C1=∠C (как углы при основании) и ΔABC= ΔA1B1C1 (по 1 признаку равенства треугольников).

Что и требовалось доказать.

Добавить комментарий