Подобные треугольники

Два треугольника подобны, если об этом сказано в условии либо если это можно доказать по одному из признаков подобия треугольников.

Определение

Подобные треугольники — это треугольники, у которых углы равны, а стороны пропорциональны.

(или:

Два треугольника подобны, если между их точками можно установить взаимно-однозначное соответствие, при котором отношение расстояний между любыми парами соответствующих точек равно одной и той же постоянной k, k — коэффициент подобия).

Как и в случае равных треугольников, важно правильно называть подобные треугольники: равные углы должны находиться на соответствующих позициях.

podobnye-treugolniki

    \[\Delta ABC \sim \Delta {A_1}{B_1}{C_1}\]

    \[ \Leftrightarrow \left\{ {\begin{array}{*{20}{l}} {\angle A = \angle {A_1}}\\ {\angle B = \angle {B_1}}\\ {\angle C = \angle {C_1}}\\ {\frac{{{A_1}{B_1}}}{{AB}} = \frac{{{B_1}{C_1}}}{{BC}} = \frac{{{A_1}{C_1}}}{{AC}} = k} \end{array}} \right.\]

Определение подобных треугольников предполагает выполнение шести пар равенств (равенство трёх пар углов и пропорциональность трёх пар сторон). Признаки подобия позволяют сократить число равенств до 2-3 (для прямоугольных треугольников — до 1-2).

Свойства подобных треугольников

1) Периметры подобных треугольников относятся как их соответствующие стороны:

    \[\frac{{{P_{\Delta {A_1}{B_1}{C_1}}}}}{{{P_{\Delta ABC}}}} = \frac{{{A_1}{B_1}}}{{AB}} = \frac{{{B_1}{C_1}}}{{BC}} = \frac{{{A_1}{C_1}}}{{AC}} = k.\]

2) Соответствующие линейные элементы подобных треугольников (медианы, высоты, биссектрисы и т.д.) относятся как их соответствующие стороны.

3) Площади подобных фигур относятся как квадраты их соответствующих линейных размеров:

    \[\frac{{{S_{\Delta {A_1}{B_1}{C_1}}}}}{{{S_{\Delta ABC}}}} = \frac{{{A_1}B_1^2}}{{A{B^2}}} = \frac{{{B_1}C_1^2}}{{B{C^2}}} = \frac{{{A_1}C_1^2}}{{A{C^2}}} = {k^2}.\]

Добавить комментарий

Можно использовать следующие HTML-теги и атрибуты: <a href="" title=""> <abbr title=""> <acronym title=""> <b> <blockquote cite=""> <cite> <code> <del datetime=""> <em> <i> <q cite=""> <strike> <strong>