Расстояние от точки до прямой

Что называется расстоянием от точки до прямой? Как найти расстояние от точки до прямой?

Определение.

Расстоянием от точки до прямой называется длина перпендикуляра, опущенного из данной точки на прямую.

opredelenie rasstoyaniya ot tochki do pryamoy

рисунок 1

 

Таким образом, чтобы найти расстояние от точки до прямой, надо из точки к прямой провести перпендикуляр и найти его длину.

Например, на рисунке 1 расстояние от точки A до прямой a равно длине перпендикуляра AB, опущенного из точки A на прямую a.

Задачи на нахождение расстояния от точки до прямой сводятся к рассмотрению прямоугольного треугольника.

Задачи.

№ 1. Из точки к прямой проведены две наклонные, длины которых относятся как 2:3, а длины их проекций соответственно равны 2 см и 7 см. Найти расстояние от точки до прямой.

rasstoyanie ot tochki do pryamoyДано: A∉a,

    \[AB \bot a,\]

AC и AD — наклонные, AC:AD=2:3,

BC и BD — их проекции, BC=2 см, BD=7 см

Найти: AB.

Решение:

1) Пусть k — коэффициент пропорциональности. Тогда AC=2k см, AD=3k см.

2) Рассмотрим треугольник ABC — прямоугольный (так как AB — перпендикуляр к прямой a по условию). По теореме Пифагора

    \[A{C^2} = A{B^2} + B{C^2},\]

откуда

    \[A{B^2} = A{C^2} - B{C^2}\]

    \[A{B^2} = {(2k)^2} - {2^2}\]

    \[\underline {A{B^2} = 4{k^2} - 4} \]

3) Аналогично, из треугольника ABD

    \[A{B^2} = A{D^2} - B{D^2}\]

    \[A{B^2} = {(3k)^2} - {7^2}\]

    \[\underline {A{B^2} = 9{k^2} - 49} \]

4) Приравниваем правые части полученных равенств и находим k:

    \[4{k^2} - 4 = 9{k^2} - 49\]

    \[5{k^2} = 45\]

    \[{k^2} = 9\]

    \[\underline {k = 3} \]

5) Зная k, найдем AB:

    \[A{B^2} = 4 \cdot {3^2} - 4 = 32\]

    \[AB = \sqrt {32}  = \sqrt {16 \cdot 2}  = 4\sqrt 2 (cm).\]

Ответ: 4√2 см.

№ 2. Из точки к прямой проведены две наклонные, длины которых равны 13 см и 15 см. Найти расстояние от точки до прямой, если разность проекций наклонных равна 4 см.

nayti rasstoyanie ot tochki do pryamoyДано: A∉a,

    \[AB \bot a,\]

AC и AD — наклонные, AC=13 см, AD=15 см,

BC и BD — их проекции, BD-BC=4 см

Найти: AB.

Решение:

1) Пусть BC=x см, тогда BD=x+4 см.

2) Рассмотрим треугольник ABC — прямоугольный (так как AB — перпендикуляр к прямой a по условию). По теореме Пифагора

    \[A{C^2} = A{B^2} + B{C^2},\]

откуда

    \[A{B^2} = A{C^2} - B{C^2}\]

    \[\underline {A{B^2} = {{13}^2} - {x^2}} \]

3) Аналогично, из треугольника ABD

    \[A{B^2} = A{D^2} - B{D^2}\]

    \[\underline {A{B^2} = {{15}^2} - {{(x + 4)}^2}} \]

4) Приравниваем правые части полученных равенств и находим x:

    \[{13^2} - {x^2} = {15^2} - {(x + 4)^2}\]

    \[169 - {x^2} = 225 - {x^2} - 8x - 16\]

    \[8x = 40\]

    \[\underline {x = 5} \]

5) Зная x, найдем AB:

    \[A{B^2} = {13^2} - {5^2} = 169 - 25 = 144\]

    \[AB = 12(cm).\]

Ответ: 12 см.

№ 3. Найти расстояние от точки A до прямой a, если известно, что наклонная AF, длина которой равна c, образует с прямой a угол α.

kak nayti rasstoyanie ot tochki do pryamoyДано: A∉a,

    \[AB \bot a,\]

AF — наклонная,

AF=c, ∠AFB=α.

Найти: AB.

Решение:

Треугольник ABF — прямоугольный (так как AB — перпендикуляр к прямой a по условию). AB — катет, противолежащий углу ACB, AF — гипотенуза.

По определению синуса

    \[\sin \angle AFB = \frac{{AB}}{{AF}}\]

    \[AB = AF \cdot \sin \angle AFB = c\sin \alpha .\]

Ответ: c∙sinα.

Добавить комментарий

Можно использовать следующие HTML-теги и атрибуты: <a href="" title=""> <abbr title=""> <acronym title=""> <b> <blockquote cite=""> <cite> <code> <del datetime=""> <em> <i> <q cite=""> <strike> <strong>