Равносторонние треугольники подобны

Выясним, верно ли, что любые равносторонних треугольника подобны.

Утверждение

Любые равносторонние треугольники подобны.

ravnostoronnie-treugolniki-podobnyДано: ∆ABC, AB=BC=AC,

    \[\Delta {A_1}{B_1}{C_1},{A_1}{B_1} = {B_1}{C_1} = {A_1}{C_1}\]

Читать далее

Равнобедренные треугольники подобны

Выясним, в каких случаях равнобедренные треугольники подобны.

Признаки подобия равнобедренных треугольников

1) Если угол между боковыми сторонами одного равнобедренного треугольника равен углу между боковыми сторонами другого равнобедренного треугольника, то такие треугольники подобны.

Читать далее

В треугольник вписан ромб

Утверждение

Если в треугольник вписан ромб так, что один угол у них — общий, а противоположная ему вершина ромба принадлежит третьей стороне треугольника, то ромб отсекает два треугольника, подобные данному.

v-treugolnik-vpisan-rombДано: ∆ ABC,

AMNK — ромб, N∈BC.

Доказать:

    \[\Delta ABC \sim \Delta MBN,\]

    \[\Delta ABC \sim \Delta KNC.\]

Доказательство:

Читать далее

В треугольник вписан параллелограмм

Утверждение

Если в треугольник вписан параллелограмм таким образом, что один угол у них общий, а три другие вершины параллелограмма лежат на сторонах треугольника, то параллелограмм отсекает два треугольника, подобных данному.

v-treugolnik-vpisan-parallelogrammДано: ∆ ABC, ADEF — параллелограмм,

D∈AB, E∈BC, F∈AC.

Читать далее

Площади подобных треугольников

Утверждение

Площади подобных треугольников относятся как квадраты их соответствующих сторон, то есть отношение площадей подобных треугольников равно квадрату коэффициента подобия.

ploshchadi-podobnyh-treugolnikovДано:

    \[\Delta ABC \sim \Delta {A_1}{B_1}{C_1}\]

Доказать:

    \[\frac{{{S_{\Delta {A_1}{B_1}{C_1}}}}}{{{S_{\Delta ABC}}}} = \frac{{{A_1}B_1^2}}{{A{B^2}}} = \frac{{{B_1}C_1^2}}{{B{C^2}}} = \frac{{{A_1}C_1^2}}{{A{C^2}}} = {k^2}\]

Читать далее

Диагонали трапеции пересекаются в точке

Диагонали трапеции пересекаются в точке. Что можно сказать об образовавшихся  треугольниках, прилежащих к основаниям?

Утверждение.

Если диагонали трапеции пересекаются в точке, то образованные при этом прилежащие к основаниям треугольники подобны.

diagonali-trapecii-peresekayutsya-v-tochkeДано:  ABCD — трапеция,

    \[AD\parallel BC,\]

    \[AC \cap BD = O.\]

Доказать:

    \[\Delta AOD \sim \Delta COB.\]

Читать далее