Задача.
Биссектриса тупого угла параллелограмма делит противолежащую сторону в отношении 3:4, считая от вершины острого угла. Найти большую сторону параллелограмма, если его периметр 33.
Решение:
Радиус описанной окружности треугольника через высоту
В следующих задачах рассмотрим, как связаны радиус описанной около правильного треугольника окружности с высотой треугольника.
Задача 1.
Высота правильного треугольника равна 63.
Найти радиус окружности, описанной около этого треугольника.
Решение:
Радиус описанной окружности треугольника с углом 30 градусов
Утверждение.
Радиус окружности, описанной около треугольника с углом 30°, равен стороне, лежащей напротив этого угла.
Доказательство:
1-й способ:
Пусть угол C треугольника ABC, вписанного в окружность радиуса R, равен 30°.
Угол ACB — вписанный угол, опирающийся на дугу AB.
Радиус окружности описанной около прямоугольного треугольника
Задача 1.
Гипотенуза прямоугольного треугольника равна 86. Найдите радиус окружности, описанной около этого треугольника.
Решение:
Радиус описанной около прямоугольного треугольника окружности равен половине гипотенузы.
Биссектрисы соответственных углов параллельны
Утверждение:
Биссектрисы соответственных углов параллельны.
Дано:AB||CD,
KF — секущая,
∠PKB и ∠KFD — соответственные,
KM — биссектриса угла PKB.
FN — биссектриса угла KFD
Доказать: KM||FN
Угол между высотой и биссектрисой, проведёнными из одной вершины треугольника
Утверждение
Угол между высотой и биссектрисой, проведёнными из одной вершины треугольника. равен полуразности двух других его углов.
Дано: ΔАВС,
∠А=α, ∠В=β, α>β,
СН — высота, СF — биссектриса треугольника АВС
∠НСF=φ
Доказать:
![\[\varphi = \frac{{\alpha - \beta }}{2}\]](http://www.treugolniki.ru/wp-content/ql-cache/quicklatex.com-2b54b77366d36f6d40b48bd5503a2f67_l3.png "Rendered by QuickLaTeX.com")
Биссектрисы внутренних односторонних углов
Утверждение
Биссектрисы внутренних односторонних углов при параллельных прямых и секущей перпендикулярны.
Дано: AB||CD, FK — секущая,
FE — биссектриса угла BFK,
KE — биссектриса угла FKD
Доказать: FE⊥KE
Доказательство: