Координаты симметричных точек

Выясним, как связаны между собой координаты симметричных точек и рассмотрим на примерах, как найти координаты точки, симметричной данной точке.

I. Две точки A(xA;yA) и B(xB;yB) симметричны относительно точки O(xO;yO), если точка O является серединой отрезка AB.

По формулам координаты середины отрезка получаем связь координат этих точек:

    \[ x_O = \frac{{x_A + x_B }}{2},y_O = \frac{{y_A + y_B }}{2}. \]

Координаты точек, симметричных относительно начала координат — точки O(0;0) — противоположные числа.

То есть координаты точки B, симметричной точке A относительно начала координат, отличаются от  координат точки A только знаками:

A(a;b) и B(-a;-b) — точки, симметричные относительно начала координат.

Примеры.

1) Найти точку, симметричную точке A(-3;7) относительно точки F(5; 11).

Решение:

Пусть B(xB;yB) — точка, симметричная точке A относительно точки F. Тогда

    \[ x_F = \frac{{x_A + x_B }}{2} \]

    \[ 5 = \frac{{ - 3 + x_B }}{2} \]

    \[ - 3 + x_B = 5 \cdot 2 \]

    \[ x_B = 13, \]

    \[ y_F = \frac{{y_A + y_B }}{2} \]

    \[ 11 = \frac{{7 + y_B }}{2} \]

    \[ y_B = 15. \]

Ответ: (13;15).

2) Найти точку, симметричную точке C (9;-4) относительно начала координат.

Решение:

Точка D, симметричная точке C относительно начала координат, имеет координаты, противоположные координатам точки C: D(-9;4).

Ответ: (-9;4).

II. Две точки A(xA;yA) и B(xB;yB) симметричны относительно прямой g, если эта прямая проходит через середину отрезка AB и перпендикулярна к нему.

Таким образом, чтобы найти координаты точки B, симметричной данной точке A относительно прямой g, можно:

  • Написать уравнение прямой f, перпендикулярной прямой g, проходящей через точку A.
  • Найти точку O пересечения прямых f и g.
  • Зная конец отрезка A и его середину O найти другой конец B.

Пример

Найти точку, симметричную точке A(-4;5) относительно прямой y=2x+4.

Решение:

Уравнение прямой, перпендикулярной данной прямой y=2x+4, ищем в виде y=-0,5x+b. Так как эта прямая проходит через точку A, координаты A удовлетворяют уравнению прямой:

5=-0,5·(-4)+b, откуда b=3.

Таким образом, y=-0,5x+3 — прямая, перпендикулярная прямой y=2x+4 и проходящая через точку A.

Найдём координаты точки пересечения прямых:

    \[ \left\{ \begin{array}{l} y = 2x + 4, \\ y = - 0,5x + 3, \\ \end{array} \right. \Rightarrow O( - 0,4;3,2). \]

    \[ x_O = \frac{{x_A + x_B }}{2} \]

    \[ - 0,4 = \frac{{ - 4 + x_B }}{2} \]

    \[ x_B = 3,2; \]

    \[ y_O = \frac{{y_A + y_B }}{2} \]

    \[ y_B = 1,4. \]

Значит точка B(3,2;1,4) симметрична точке A(-4;5) относительно прямой y=2x+4.

Ответ: (3,2;1,4).

Координаты точек, симметричных относительно осей координат и биссектрис координатных четвертей — прямых y=x и y=-x — находятся проще:

 для точки A(x;y)
симметрия относительно:
оси Ox A1(x;-y)
оси Oy A2(-x;y)

биссектрисы I и II координатных

четвертей (прямой y=x)

A3(y;x)

биссектрисы I b II координатных

четвертей (прямой y= -x)

A4(-y;-x)

Добавить комментарий