Координаты точки пересечения прямых

Две прямые на плоскости могут быть параллельными, пересекаться либо совпадать.

Чтобы найти координаты точки пересечения прямых, надо составить и решить систему уравнений, составленную из уравнений этих прямых.

Примеры.

Найти точку пересечения прямых заданных уравнениями:

1) y=6x+15; y= -5x-7;

2) 2x+3y+17=0; 5x-2y-43=0.

Решение:

1) Составляем систему уравнений (здесь даны уравнения прямой с угловым коэффициентом):

    \[\left\{ \begin{array}{l} y = 6x + 15; \\ y = - 5x - 7. \\ \end{array} \right.\]

Приравняем правые части уравнений:

    \[6x + 15 = - 5x - 7\]

откуда

    \[11x = - 22\]

    \[x = - 2\]

Подставим x= -2 в уравнение первой прямой:

    \[y = 6 \cdot ( - 2) + 15 = 3.\]

Ответ: (-2;3).

2) Составляем систему уравнений (здесь задано общее уравнение прямой):

    \[\left\{ \begin{array}{l} 2x + 3y + 17 = 0; \\ 5x - 2y - 43 = 0. \\ \end{array} \right.\]

Умножим 1-е уравнение системы на 2, а 2-е — на 3

    \[\left\{ \begin{array}{l} 2x + 3y + 17 = 0\_\_\_\left| { \cdot 2} \right. \\ 5x - 2y - 43 = 0\_\_\_\left| { \cdot 3} \right. \\ \end{array} \right. \Rightarrow \left\{ \begin{array}{l} 4x + 6y + 34 = 0, \\ 15x - 6y - 129 = 0 \\ \end{array} \right.\]

и сложим их почленно. Получим

    \[19x - 95 = 0,\]

откуда

    \[x = 5.\]

Подставим x=5 в 1-е уравнение системы:

    \[2 \cdot 5 + 3y + 17 = 0,\]

откуда

    \[y = - 9.\]

Ответ: (5; -9).

Добавить комментарий