Биссектриса CM треугольника ABC

Задача

Биссектриса CM треугольника ABC делит сторону AB на отрезки AM=5 и MB=10. Касательная к описанной окружности треугольника ABC, проходящая через точку C, пересекает прямую AB в точке D. Найти CD.

bissektrisa-cm-treugolnika-abcДано: ΔABC вписан в окр.(O;R),

CM — биссектриса ∠ACB, CD — касательная к окр.(O;R),

AM=5, MB=10, CD∩AB=D

Найти: CD

Решение:

1) Рассмотрим треугольник ABC. Так как CM — его биссектриса, то по свойству биссектрисы треугольника

    \[ \frac{{CA}}{{BC}} = \frac{{AM}}{{MB}} = \frac{5}{{10}} = \frac{1}{2}. \]

AB=AM+MB=5+10=15.bissektrisa-cm-treugolnika-abc-delit

    \[ 2)\angle DCA = \frac{1}{2} \cup AC \]

(как угол между касательной и хордой, проведённой в точку касания).

    \[ \angle ABC = \frac{1}{2} \cup AC \]

(как вписанный угол, опирающийся на дугу AC).

Следовательно, ∠DCA=∠ABC.

Так как в треугольниках CAD и BCD

  1. ∠DCA=∠DBC (по доказанному),
  2. ∠D — общий,

то треугольники CAD и BCD подобны (по двум углам).

Из подобия треугольников следует пропорциональность соответствующих сторон:

    \[ \frac{{CD}}{{BD}} = \frac{{AD}}{{CD}} = \frac{{CA}}{{BC}} = \frac{1}{2}, \]

следовательно

    \[ AD = \frac{1}{2}CD, \]

и из равенства

    \[ \frac{{CD}}{{BD}} = \frac{{AD}}{{CD}} \]

по основному свойству пропорции

    \[ CD^2 = AD \cdot BD. \]

Подставим вместо AD 1/2 CD:

    \[ CD^2 = \frac{1}{2}CD \cdot BD, \]

делим обе части равенства на CD

    \[ CD = \frac{1}{2}BD. \]

Пусть AD=x, тогда BD=AB+AD=15+x, CD=2x.

    \[ 2x = \frac{1}{2}(x + 15), \]

    \[ 4x = x + 15 \]

    \[ 3x = 15 \]

    \[ x = 5 \]

CD=2·5=10.

Ответ: 10.

Добавить комментарий