Угол между хордой и касательной

Теорема

Угол между хордой и касательной к окружности, проведённой через конец хорды, равен половине дуги, лежащей внутри этого угла.

ugol-mezhdu-hordoj-i-kasatelnojДано:

окр. (O; R), AB — хорда, BC — касательная

Доказать:

    \[\angle ABC = \frac{1}{2} \cup AB\]

Доказательство:

ugol-mezhdu-kasatelnoj-i-sekushchej1) Соединим центр окружности с концами хорды.

Треугольник OAB — равнобедренный с основанием AB (так как OA=OB как радиусы).

Следовательно, ∠OBA=∠OAB (как углы при основании).

По теореме о сумме углов треугольника, ∠OBA+∠OAB+∠AOB=180º. Значит,

    \[\angle OBA = \frac{{{{180}^o} - \angle AOB}}{2} = {90^o} - \frac{1}{2}\angle AOB\]

2) ∠OBC=90º (по свойству касательной).

∠ABC=∠OBC-∠OBA

    \[\angle ABC = {90^o} - ({90^o} - \frac{1}{2}\angle AOB) = \frac{1}{2}\angle AOB\]

3) Градусная мера дуги AB равна градусной мере центрального угла AOB.

    \[ \cup AB = \angle AOB,\]

отсюда

    \[\angle ABC = \frac{1}{2} \cup AB\]

Что и требовалось доказать.

Задача

Треугольник ABC вписан в окружность. Через вершину B проведена касательная к окружности, а из точки A на касательную опущен перпендикуляр AF. Найти ∠ACB, если ∠FAB=27º.

ugol-mezhdu-kasatelnoj-i-sekushchej-raven

Дано: ∆ABC, окр. (O; R) — описанная,

BF — касательная,

    \[AF \bot BF\]

∠FAB=27º

Найти: ∠AСB

Решение:

1) Рассмотрим ∆ABF. ∠AFB=90º. Так как сумма острых углов прямоугольного треугольника равна 90º, то ∠ABF=90º-∠FAB=90-27=63º.

2) ∠ABF — угол между касательной BF и хордой AB. Значит, он равен половине дуги AB:

    \[\angle ABF = \frac{1}{2} \cup AB\]

3) ∠AСB — вписанный угол, опирающийся на дугу AB. Следовательно он также равен её половине:

    \[\angle ACB = \frac{1}{2} \cup AB,\]

Отсюда, ∠AСB=∠ABF=63º.

Ответ: 63º.

Добавить комментарий