Свойство секущих

Теорема

(Свойство секущих)

Для каждой из секущих, проведённых из одной точки, произведение длины секущей на длину её внешней части есть величина постоянная.

svojstvo-sekushchihДано: окружность (O; R), AB и AC — секущие,

AB∩окр. (O; R)=F, AC∩окр. (O; R)=K

Доказать:

AB ∙ AF=AC ∙ AK

Доказательство:

I способ

svojstvo-sekushchih-okruzhnostiРассмотрим треугольники ABK и ACF.

∠A — общий угол;

∠ABK=∠ACF (как вписанные углы, опирающиеся на одну дугу FK).

Следовательно, треугольники ABK и ACF подобны (по двум углам).

Из подобия треугольников следует пропорциональность соответствующих сторон:

    \[\frac{{AB}}{{AC}} = \frac{{AK}}{{AF}}\]

По основному свойству пропорции:

    \[AB \cdot AF = AC \cdot AK\]

Что и требовалось доказать.

svojstvo-sekushchih-provedennyh-iz-tochkiII способ

1) Проведём отрезки FK и BC.

2) Так как четырёхугольник BFKC — вписанный в окружность, то сумма его противолежащих углов равна 180º:

∠BCK+∠BFK=180º. Следовательно, ∠BFK=180º-∠BCK.

3) ∠AFK+∠BFK=180º (как смежные). Отсюда,

∠AFK=180º-∠BFK=180º-(180º-∠BCK)=180º-180º+∠BCK=∠BCK,

то есть ∠AFK=∠BCK.

sekushchie-k-okruzhnosti4) Рассмотрим треугольники ABC и AKF.

У них ∠ACB=∠AFK (так как ∠AFK=∠BCK по доказанному), ∠A — общий угол. Следовательно, треугольники ABC и AKF — подобны (по двум углам).

Отсюда,

    \[\frac{{AB}}{{AK}} = \frac{{AC}}{{AF}}, \Rightarrow AB \cdot AF = AC \cdot AK\]

Что и требовалось доказать.

При решении задач будем использовать свойство секущих, а также запомним полученные в ходе доказательства теоремы факты о подобии треугольников, образованных секущими. Причем подобие треугольников ABC и AKF можно доказывать как приведённым выше способом, так и опираясь на свойство секущих.

Добавить комментарий

Можно использовать следующие HTML-теги и атрибуты: <a href="" title=""> <abbr title=""> <acronym title=""> <b> <blockquote cite=""> <cite> <code> <del datetime=""> <em> <i> <q cite=""> <strike> <strong>