Чему равен вписанный угол

Выясним, чему равен вписанный угол окружности и как его величина связана с величиной центрального угла.

Теорема

(О вписанном угле)

Вписанный угол равен половине соответствующего ему центрального угла.

tsentralnyiy i vpisannyie uglyiДано: окружность (O; R),

∠ABС — вписанный,

∠AOС — центральный.

Доказать:

    \[\angle ABC = \frac{1}{2}\angle AOC.\]

Доказательство:

1) Рассмотрим частный случай, когда одна из сторон угла проходит через центр окружности.

Chemu raven vpisannyiy ugolВ треугольнике AOB OA=OB (как радиусы). Значит, треугольник AOB — равнобедренный с основанием AB. Следовательно, у него углы при основании равны:∠ABO=∠BAO.

∠AOC — внешний угол треугольника AOB. Внешний угол равен сумме двух внутренних углов, не смежных с ним:

∠AOC=∠ABO+∠BAO=2∙∠ABO. Отсюда, 

    \[\angle ABC = \frac{1}{2}\angle AOC.\]

2) Если центр окружности лежит между сторонами угла.

vpisannyiy i tsentralnyiy uglyiПроведем из вершины вписанного угла ABC диаметр BF.

Аналогично, ∠AOF — внешний угол при вершине O равнобедренного треугольника ABO и

    \[\angle ABF = \frac{1}{2}\angle AOF,\]

∠FOC — внешний угол при вершине O равнобедренного треугольника BCO и

    \[\angle FBC = \frac{1}{2}\angle FOC.\]

    \[\angle ABC = \angle ABF + \angle FBC = \]

    \[ = \frac{1}{2}\angle AOF + \frac{1}{2}\angle FOC = \]

    \[ = \frac{1}{2}(\angle AOF + \angle FOC) = \frac{1}{2}AOC.\]

3) Если центр окружности лежит вне угла.

vpisannyiy ugol ravenПроведем диаметр BF.

∠AOF — внешний угол при вершине O равнобедренного треугольника ABO и

    \[\angle ABO = \frac{1}{2}\angle AOF.\]

∠СOF — внешний угол при вершине O равнобедренного треугольника BCO и

    \[\angle CBF = \frac{1}{2}\angle COF.\]

    \[\angle ABC = \angle ABF - \angle CBF = \]

    \[ = \frac{1}{2}\angle AOF - \frac{1}{2}\angle COF = \]

    \[ = \frac{1}{2}(\angle AOF - \angle COF) = \frac{1}{2}\angle AOC.\]

Что и требовалось доказать.

Замечание.

Другая формулировка теоремы о вписанном угле:

Вписанный угол измеряется половиной дуги, на которую он опирается.

    \[\angle ABC = \frac{1}{2} \cup AC.\]

Добавить комментарий

Можно использовать следующие HTML-теги и атрибуты: <a href="" title=""> <abbr title=""> <acronym title=""> <b> <blockquote cite=""> <cite> <code> <del datetime=""> <em> <i> <q cite=""> <strike> <strong>