Свойство касательной и секущей

Теорема о пропорциональности отрезков секущей и касательной

(Свойство касательной и секущей, проведённых из одной точки)

Для касательной и секущей к окружности, проведённых из одной точки, квадрат расстояния от этой точки до точки касания равен произведению длины секущей на длину её внешней части.

Другими словами, квадрат расстояния от данной точки до точки касания равен произведению расстояний от этой точки до точек пересечения секущей с окружностью.

svojstvo-kasatelnoj-i-sekushchej

Дано: окр. (O;R), AK — касательная, AB — секущая,

окр. (O;R)∩AK=K, (O;R)∩AB=B, C

Доказать:

    \[A{K^2} = AB \cdot AC\]

Доказательство:

kasatelnaya-i-sekushchaya-dokazatelstvoПроведём хорды BK и CK.

Рассмотрим треугольники ABK и AKC.

У них ∠A — общий.

    \[\angle AKC = \frac{1}{2} \cup CK\]

(как угол между хордой и касательной)

    \[\angle ABK = \frac{1}{2} \cup CK\]

(как вписанный угол, опирающийся на дугу CK).

Следовательно, ∠ABK=∠AKC.

Значит, треугольники ABK и AKC подобны (по двум углам).

Из подобия треугольников следует пропорциональность их соответствующих сторон:

    \[\frac{{AB}}{{AK}} = \frac{{AK}}{{AC}}\]

По основному свойству пропорции

    \[A{K^2} = AB \cdot AC\]

Что и требовалось доказать.

Задача

Окружность с центром на стороне AC треугольника ABC проходит через вершину C и касается прямой AB в точке B. Найти AC, если диаметр окружности равен 15, а AB=4.

okruzhnost-s-centrom-na-storoneДано:

∆ABC, B, C ∈ окр.(O;R) O∈AC, AB — касательная, AB=4, FC — диаметр, FС=15

Найти: AC

Решение:

По свойству касательной и секущей, проведённых из одной точки,

    \[A{B^2} = AC \cdot AF\]

Пусть AF=x, тогда AC=x+15. Составим и решим уравнение:

    \[{4^2} = (x + 15) \cdot x\]

    \[{x^2} + 15x - 16 = 0\]

    \[{x_1} = 1,{x_2} =  - 16\]

Второй корень не подходит по смыслу задачи. Следовательно, AC=1+15=16.

Ответ: 16.

Добавить комментарий