Равные хорды

Выясним, какими свойствами обладают равные хорды.

Утверждение 1

Равные хорды равноудалены от центра окружности.

ravnye-hordyДано: окр. (O;R), AB и CD — хорды,

AB=CD,

    \[OF \bot AB,OK \bot CD\]

Доказать: OF=OK

Доказательство:

ravnye-hordy-ravnoudalenyСоединим центр окружности с концами хорд.

I. Рассмотрим треугольники AOB и COD.

1) AB=CD (по условию)

2) OA=OB=OC=OD (как радиусы).

Следовательно, ∆AOB = ∆COD (по трём сторонам).

Из равенства треугольников следует равенство соответствующих углов: ∠A=∠C.

II. Рассмотрим прямоугольные треугольники AOF и COK.

1) AO=CO=R

2) ∠A=∠C (по доказанному).

Следовательно,  ∆AOF=∆COK (по гипотенузе и острому углу).

Из равенства треугольников следует равенство соответствующих сторон: OF=OK.

Что и требовалось доказать.

Утверждение 2

Равные хорды стягивают равные дуги.

ravnye-hordy-styagivayut

 

Дано: окр. (O;R), AB и CD — хорды, AB=CD,

Доказать:

    \[ \cup AB =  \cup CD\]

Доказательство:

ravnye-hordy-styagivayut-ravnyeСоединим центр окружности с концами хорд.

Рассмотрим треугольники AOB и COD

1) AB=CD (по условию)

2) OA=OB=OC=OD (как радиусы).

Следовательно, ∆AOB = ∆COD (по трём сторонам).

Из равенства треугольников следует равенство соответствующих углов: ∠AOB=∠COD.

Значит и дуги, на которые опираются эти центральные углы, также равны:

    \[ \cup AB =  \cup CD\]

Что и требовалось доказать.

Добавить комментарий