Признак равенства прямоугольных треугольников по катету и гипотенузе

Теорема

(Признак равенства прямоугольных треугольников по катету и гипотенузе)

Если катет и гипотенуза одного прямоугольного треугольника соответственно равны катету и гипотенузе другого прямоугольного треугольника, то такие треугольники равны.

Дано:

ΔABC, ΔA₁B₁C₁,

∠C=90°, ∠C₁=90°,

BC=B₁C₁, AB=A₁B₁,

Доказать:

ΔABC= ΔA₁B₁C₁

Доказательство:

I. На луче BC с другой стороны от точки C отложим отрезок CD, CD=CB.

Соединим точки A и D отрезком.

На луче B₁C₁ с другой стороны от точки C₁ отложим отрезок C₁D₁, C₁D₁=C₁B₁.

Проведём отрезок A₁D₁.

II. В треугольниках ACD и ACB:

1) ∠ACD=∠ACB=90° (так как угол, смежный с прямым, прямой);

2) CD=CB (по построению);

3) AC — общая сторона.

Следовательно, ΔACD= ΔACB (по двум катетам).

Из равенства треугольников следует равенство соответствующих сторон: AD=AB.

Аналогично доказывается равенство треугольников A₁C₁D₁ и A₁C₁B₁ и равенство их сторон A₁D₁=A₁B₁.

III. Так как AB=A₁B₁, то и AD=A₁D₁.

IV. В треугольниках ABD и A₁B₁D₁:

1) AB=A₁B₁ (по условию);

2) AD=A₁D₁ (по доказанному);

3) BD=2BC=2B₁C₁=B₁D₁.

Следовательно, ΔABD=ΔA₁B₁D₁(по трём сторонам).

Из равенства треугольников следует равенство соответствующих углов: ∠B=∠B₁.

V. В треугольниках ABC и A₁B₁C₁:

1) AB=A₁B₁ (по условию);

2) BC=B₁C₁ (по условию);

3) ∠B=∠B₁ (по доказанному).

Поэтому ΔABC= ΔA₁B₁C₁ (по двум сторонам и углу между ними).

Что и требовалось доказать.