Признак равенства прямоугольных треугольников по катету и гипотенузе

Теорема

(Признак равенства прямоугольных треугольников по катету и гипотенузе)

Если катет и гипотенуза одного прямоугольного треугольника соответственно равны катету и гипотенузе другого прямоугольного треугольника, то такие треугольники равны.

ravenstvo-po-katetu-i-gipotenuzeДано:

ΔABC, ΔA1B1C1,

∠C=90°, ∠C1=90°,

BC=B1C1, AB=A1B1,

Доказать:

ΔABC= ΔA1B1C1

Доказательство:

I. На луче BC с другой стороны от точки C отложим отрезок CD, CD=CB.

Соединим точки A и D отрезком.

На луче B1C1 с другой стороны от точки C1 отложим отрезок C1D1, C1D1=C1B1.

Проведём отрезок A1D1.

II. В треугольниках ACD и ACB:

priznak-ravenstva-po-katetu-i-gipotenuze

1) ∠ACD=∠ACB=90° (так как угол, смежный с прямым, прямой);

2) CD=CB (по построению);

3) AC — общая сторона.

Следовательно, ΔACD= ΔACB (по двум катетам).

Из равенства треугольников следует равенство соответствующих сторон: AD=AB.

Аналогично доказывается равенство треугольников A1C1D1 и A1C1B1 и равенство их сторон A1D1=A1B1.

III. Так как AB=A1B1, то и AD=A1D1.

IV. В треугольниках ABD и A1B1D1:

1) AB=A1B1 (по условию);

2) AD=A1D1 (по доказанному);

3) BD=2BC=2B1C1=B1D1.

ravenstvo-treugolnikov-po-katetu-i-gipotenuze

Следовательно, ΔABD=ΔA1B1D1(по трём сторонам).

Из равенства треугольников следует равенство соответствующих углов: ∠B=∠B1.

V. В треугольниках ABC и A1B1C1:

1) AB=A1B1 (по условию);

2) BC=B1C1 (по условию);

3) ∠B=∠B1 (по доказанному).

Поэтому ΔABC= ΔA1B1C1 (по двум сторонам и углу между ними).

Что и требовалось доказать.

Добавить комментарий