Уравнение описанной окружности

Как составить уравнение описанной около треугольника окружности по координатам его вершин? Как найти координаты центра описанной окружности? Как найти радиус описанной окружности, зная координаты вершин треугольника?

Решение всех этих задач сводится к одной — написать уравнение окружности, проходящей через три данные точки. Для этого достаточно подставить координаты точек (вершин треугольника) в уравнение окружности. Получим систему из трёх уравнений с тремя неизвестными: координатами центра и радиусом окружности.

Задача.

Составить уравнение описанной окружности для треугольника с вершинами в точках A(2;1), B(6;3), C(9;2).

Решение:

Подставив координаты вершин треугольника в уравнение окружности

    \[ (x - a)^2 + (y - b)^2 = R^2 , \]

получим систему уравнений

    \[ \left\{ \begin{array}{l} (2 - a)^2 + (1 - b)^2 = R^2 , \\ (6 - a)^2 + (3 - b)^2 = R^2 , \\ (9 - a)^2 + (2 - b)^2 = R^2 . \\ \end{array} \right. \]

Вычтем из первого уравнения системы второе:

    \[ (2 - a)^2 + (1 - b)^2 - (6 - a)^2 - (3 - b)^2 = 0 \]

    \[ 4 - 4a + a^2 + 1 - 2b + b^2 - 36 + 12a - a^2 - 9 + 6b - b^2 = 0 \]

    \[ 8a + 4b - 40 = 0 \]

    \[ b = - 2a + 10. \]

Теперь из второго уравнения системы вычтем третье:

    \[ (6 - a)^2 + (3 - b)^2 - (9 - a)^2 - (2 - b)^2 = 0 \]

    \[ 36 - 12a + a^2 + 9 - 6b + b^2 - 81 + 18a - a^2 - 4 + 4b - b^2 = 0 \]

    \[ b = 3a - 20. \]

Приравняем правые части равенств b=-2a+10 и b=3a-20:

    \[ - 2a + 10 = 3a - 20 \]

    \[ - 5a = - 30 \]

    \[ a = 6, \]

    \[ b = 3 \cdot 6 - 20 = - 2. \]

Подставим в первое уравнение системы a=6 и b=-2:

    \[ (2 - 6)^2 + (1 - ( - 2))^2 = R^2 \]

    \[ R^2 = 16 + 9 = 25, \]

    \[ R = 5. \]

a и b — координаты центра окружности, R — её радиус. Таким образом, точка (6;-2) — центр описанной около треугольника ABC окружности, радиус R=5, а уравнение описанной окружности

    \[ (x - 6)^2 + (y + 2)^2 = 25. \]

 

Для решения аналогичной задачи для четырёхугольника либо многоугольника достаточно знать координаты трёх его вершин.

Добавить комментарий