Уравнение окружности

Уравнение окружности с центром в точке (a;b) и радиусом R в прямоугольной системе координат имеет вид

    \[{(x - a)^2} + {(y - b)^2} = {R^2}\]

Доказательство:

1. Пусть в прямоугольной системе координат задана окружность с центром в точке A (a;b) и радиусом R (R>0).

uravnenie-okruzhnostiЧтобы составить уравнение этой окружности, выберем на окружности произвольную точку B (x;y).

По определению окружности, расстояние от центра до любой точки окружности равно радиусу R, то есть AB=R.

По формуле расстояния между точками

    \[A{B^2} = {({x_B} - {x_A})^2} + {({y_B} - {y_A})^2},\]

откуда

    \[{(x - a)^2} + {(y - b)^2} = {R^2}.\]

Так как B (x;y) — произвольная точка окружности, координаты любой точки окружности удовлетворяют этому уравнению.

2. Если пара чисел (xo;yo) удовлетворяет данному уравнению, то

    \[{({x_o} - a)^2} + {({y_o} - b)^2} = {R^2},\]

    \[\sqrt {{{({x_o} - a)}^2} + {{({y_o} - b)}^2}} = R.\]

А это значит, что расстояние между точками C(xo;yo) и A(a;b) равно R. Значит, точка C(xo;yo) принадлежит окружности с центром в точке A(a;b) и радиусом R.

Следовательно, данное уравнение фигуры является уравнением окружности.

Что и требовалось доказать.

Добавить комментарий