Написать уравнение окружности

Рассмотрим некоторые примеры, в которых требуется написать уравнение окружности по заданным условиям.

1) Написать уравнение окружности с центром в точке K(5;-1) и радиусом 7.

Решение:

Уравнение окружности с центром в точке (a;b) и радиусом R имеет вид:

    \[{(x - a)^2} + {(y - b)^2} = {R^2}\]

Так как центр окружности — точка K(5; -1), то a=5, b=-1.Подставляем эти данные в уравнение окружности:

    \[{(x - 5)^2} + {(y - ( - 1))^2} = {7^2},\]

    \[{(x - 5)^2} + {(y + 1)^2} = 49.\]

2) Напишите уравнение окружности с центром в точке A (8;-3) проходящей через точку C(3;-6).

Решение:

Так как центр окружности — точка A(8; -3), то a=8, b=-3.

Остаётся найти радиус. Он равен расстоянию от центра окружности до точки, лежащей на окружности, то есть в данном случае радиус окружности равен расстоянию между точками A и C.

    \[R = AC = \sqrt {{{({x_C} - {x_A})}^2} + {{({y_C} - {y_A})}^2}} \]

    \[R = AC = \sqrt {{{(3 - 8)}^2} + {{( - 6 - ( - 3))}^2}} = \sqrt {25 + 9} = \sqrt {34} ,\]

    \[{R^2} = 34.\]

Следовательно, уравнение данной окружности

    \[{(x - 8)^2} + {(y + 3)^2} = 34.\]

3) Составить уравнение окружности, диаметром которой является отрезок AB, если A (-4; -9), B(6;5).

Решение:

Центром окружности является середина диаметра, в нашем случае — середина отрезка AB. По формулам координат середины отрезка

    \[{x_O} = \frac{{{x_A} + {x_B}}}{2},{y_O} = \frac{{{y_A} + {y_B}}}{2}\]

    \[{x_O} = \frac{{ - 4 + 6}}{2} = 1,{y_O} = \frac{{ - 9 + 5}}{2} = - 2\]

Центр окружности — точка O(1;-2). Значит, a=1, b=-2.

Радиус можно найти как расстояние от центра окружности до любой из точек A или B окружности. Например,

    \[R = OA = \sqrt {{{({x_A} - {x_O})}^2} + {{({y_A} - {y_O})}^2}} \]

    \[R = OA = \sqrt {{{( - 4 - 1)}^2} + {{( - 9 - ( - 2))}^2}} = \sqrt {25 + 49} = \sqrt {74} ,\]

    \[{R^2} = 74.\]

Таким образом, уравнение окружности с диаметром AB —

    \[{(x - 1)^2} + {(y + 2)^2} = 74.\]

4) Написать уравнение окружности, проходящей через три точки: A(4; -5), B(8; 3) C(-8; 11).

Решение:

Так как точки A, B C принадлежат окружности, то их координаты удовлетворяют уравнению окружности. Подставив координаты точек в уравнение

    \[{(x - a)^2} + {(y - b)^2} = {R^2},\]

получаем систему уравнений:

    \[\left\{ \begin{array}{l} {(4 - a)^2} + {( - 5 - b)^2} = {R^2}\\ {(8 - a)^2} + {(3 - b)^2} = {R^2}\\ {( - 8 - a)^2} + {(11 - b)^2} = {R^2} \end{array} \right.\]

Поскольку правые части уравнений равны, левые также равны. Приравняв правые части 1-го и 2-го уравнений получим

    \[{(4 - a)^2} + {( - 5 - b)^2} = {(8 - a)^2} + {(3 - b)^2}\]

    \[16 - 8a + {a^2} + 25 + 10b + {b^2} = 64 - 16a + {a^2} + 9 - 6b + {b^2}\]

    \[8a + 16b = 32\]

    \[8a + 16b = 32\]

Приравняем правые части 2-го и 3-го уравнений:

    \[{(8 - a)^2} + {(3 - b)^2} = {( - 8 - a)^2} + {(11 - b)^2}\]

    \[64 - 16a + {a^2} + 9 - 6b + {b^2} = 64 + 16a + {a^2} + 121 - 22b + {b^2}\]

    \[ - 32a + 16b = 112\]

Умножив уравнение

    \[8a + 16b = 32\]

на -1 и сложив результат почленно с уравнением

    \[ - 32a + 16b = 112,\]

получаем a=-2, b=3. Подставив этот результат в первое уравнение системы:

    \[{(4 + 2)^2} + {( - 5 - 3)^2} = {R^2}\]

    \[{(4 + 2)^2} + {( - 5 - 3)^2} = {R^2},\]

получаем R²=100.

Следовательно, уравнение окружности, проходящей через три данные точки —

    \[{(x + 2)^2} + {(y - 3)^2} = 100.\]

5) Написать уравнение окружности, описанной около треугольника ABC с вершинами в точках A(2; 6), B(1; 5) C(8; -2).

Решение аналогично решению задания 4. В результате получим уравнение

    \[{(x - 5)^2} + {(y - 2)^2} = 25.\]

Добавить комментарий