Описанная окружность

Что такое описанная окружность? Какими свойствами она обладает?

Определение

Описанная около выпуклого многоугольника окружность — это окружность, которая проходит через все вершины многоугольника.

Многоугольник, около которого описана окружность, называется вписанным.

В выпуклый многоугольник можно вписать окружность, если все серединные перпендикуляры к его сторонам пересекаются в одной точке.

Центр вписанной в многоугольник окружности — точка пересечения серединных перпендикуляров к его сторонам.

Центр описанной окружности равноудалён от вершин многоугольника.

Расстояние от центра до любой вершины многоугольника равно радиусу описанной окружности.

Пример.

opisannaya-okruzhnostОкружность с центром в точке O и радиусом R описана около пятиугольника ABCDE.

ABCDE — вписанный пятиугольник.

O — точка пересечения серединных перпендикуляров к сторонам ABCD, то есть

    \[AP = PE,OP \bot AE\]

    \[AM = MB,OM \bot AB\]

    \[BN = NC,ON \bot BC\]

    \[CL = LD,OL \bot CD\]

    \[DK = KE,OK \bot DE\]

vpisannyj-mnogougolnikТочка O равноудалена от вершин пятиугольника.

Расстояние от точки O до любой вершины равно радиусу:

OA=OB=OC=OD=OE=R.

 

Около любого треугольника можно описать окружность.

Около выпуклого четырёхугольника можно описать окружность, если сумма его противолежащих углов равна 180º.

Около любого правильного многоугольника можно описать окружность. В любой правильный многоугольник также можно вписать окружность. Центр вписанной и описанной окружности лежат в центре правильного многоугольника.

В отличие от вписанной окружности, общей формулы для нахождения радиуса описанной около многоугольника окружности нет. Радиус описанной окружности можно найти как радиус окружности, описанной около любого из треугольников, вершины которого являются вершинами описанного многоугольника.

Например, для описанного пятиугольника ABCDE радиус можно найти как радиус окружности, описанной около одного из треугольников ABC, ABD, ABE, BCD, BCE, ACD, ADE и т.д.

Формулы для нахождения радиуса описанной окружности существуют в частных случаях: для правильных многоугольников, треугольников, прямоугольника.

2 Comments

  1. Саня Мозаика 01.11.2016 03:15 Ответить

    Огромное спасибо за все статьи, что есть на этом сайте! Благодаря вам восполнила пробелы в теории, из-за которых не могла решить задачки, и теперь щёлкаю задания как орехи. Лучший сайт по геометрии!

    • admin 06.11.2016 17:32 Ответить

      Саня, спасибо за теплый отзыв!

Добавить комментарий

Можно использовать следующие HTML-теги и атрибуты: <a href="" title=""> <abbr title=""> <acronym title=""> <b> <blockquote cite=""> <cite> <code> <del datetime=""> <em> <i> <q cite=""> <strike> <strong>