Радиус описанной окружности трапеции

Как найти радиус описанной окружности для трапеции?

В зависимости от данных условия, сделать это можно разными способами. Готовой формулы радиуса описанной около трапеции окружности нет.

I. Радиус описанной около трапеции окружности как радиус окружности, описанной около треугольника, вершины которого — вершины трапеции

Описанная около трапеции окружность проходит через все её вершины, следовательно, является описанной для любого из треугольников, вершины которых являются вершинами трапеции.

В общем случае радиус описанной около треугольника окружности может быть найден по одной из формул

    \[R = \frac{a}{{2\sin \alpha }},\]

где a — сторона треугольника, α — противолежащий ей угол;

либо по формуле

    \[R = \frac{{abc}}{{4S}},\]

где a, b, c — стороны, S — площадь треугольника.

radius-opisannoj-okruzhnosti-dlya-trapecii

Для трапеции ABCD радиус может быть найден, например, как радиус окружности, описанной около треугольника ABD:

    \[R = \frac{{AD \cdot AB \cdot BD}}{{4{S_{\Delta ABD}}}}\]

или

    \[R = \frac{{BD}}{{2\sin \angle A}},\]

где синус угла A можно найти из прямоугольного треугольника ABF:

    \[\sin \angle A = \frac{{BF}}{{AB}}\]

III. Радиус описанной около трапеции окружности как расстояние до точки пересечения серединных перпендикуляров

radius-opisannoj-okruzhnosti-v-trapeciiРадиус описанной окружности — точка пересечения серединных перпендикуляров с сторонам трапеции. (Можно рассуждать иначе: в равнобедренном треугольнике AOD (AO=OD=R) высота ON является также медианой. Для треугольника BOC — аналогично).

Если известна высота трапеции KN=h, основания AD=a, BC=b, можно обозначить ON=x.

Если центр окружности лежит внутри трапеции, OK=h-x, из прямоугольных треугольников ANO и BKO можно выразить

    \[B{O^2} = B{K^2} + O{K^2}\]

    \[A{O^2} = A{N^2} + O{N^2}\]

и приравнять правые части

    \[A{O^2} = B{O^2} = {R^2}, \Rightarrow \]

    \[A{N^2} + O{N^2} = B{K^2} + O{K^2}\]

    \[{(\frac{a}{2})^2} + {x^2} = {(\frac{b}{2})^2} + {(h - x)^2}\]

Решив это уравнения относительно x, можно найти R.

IV. Если диагональ трапеции перпендикулярна боковой стороне, центр описанной окружности лежит на середине большего основания и радиус равен половине большего основания.

centr-opisannoj-okruzhnosti-na-osnovanii-trapecii

    \[AC \bot CD, \Rightarrow \]

точка O — середина AD

    \[R = \frac{1}{2}AD\]

centr-opisannoj-okruzhnosti-lezhit-vne-trapeciiЕсли диагональ трапеции образует с боковой стороной тупой угол, центр описанной окружности лежит вне трапеции, за большим основанием.

I вариант нахождения радиуса для этого случая не изменяется.

 

centr-opisannoj-okruzhnosti-vne-trapeciiВо II случае OK=h+x, соответственно, изменяется уравнение для нахождения x и R.

 

 

Позже рассмотрим конкретные задачи нахождения радиуса описанной около трапеции окружности.

Добавить комментарий

Можно использовать следующие HTML-теги и атрибуты: <a href="" title=""> <abbr title=""> <acronym title=""> <b> <blockquote cite=""> <cite> <code> <del datetime=""> <em> <i> <q cite=""> <strike> <strong>