Радиус описанной около треугольника окружности

Радиус описанной около треугольника окружности можно найти по одной из двух общих формул.

Кроме того, для правильного и прямоугольного треугольников существуют дополнительные формулы.

Радиус описанной около произвольного треугольника окружности

Формула I (следствие из теоремы синусов)

    \[R = \frac{{AB}}{{2\sin \angle C}} = \frac{{BC}}{{2\sin \angle A}} = \frac{{AC}}{{2\sin \angle B}}\]

 

radius opisannoy okolo treugolnika okruzhnosti

То есть радиус описанной окружности равен отношению длины стороны треугольника к удвоенному синусу противолежащего этой стороне угла.

В общем виде эту формулу записывают так:

    \[R = \frac{a}{{2\sin \alpha }} = \frac{b}{{2\sin \beta }} = \frac{c}{{2\sin \gamma }}\]

 

Формула II.

    \[R = \frac{{AB \cdot BC \cdot AC}}{{4{S_{\Delta ABC}}}}\]

в общем виде —

    \[R = \frac{{abc}}{{4S}}\]

То есть чтобы найти радиус описанной около треугольника окружности, надо произведения длин сторон треугольника разделить на четыре площади треугольника.

Если площадь треугольника находить по формуле Герона

    \[S = \sqrt {p(p - a)(p - b)(p - c)} ,\]

где p — полупериметр,

    \[p = \frac{{a + b + c}}{2},\]

то получим формулу радиуса описанной около треугольника окружности через длины сторон:

    \[R = \frac{{abc}}{{4\sqrt {p(p - a)(p - b)(p - c)} }}.\]

radius opisannoy okolo tupougolnogo treugolnika okruzhnosti

Обе эти формулы можно применить к треугольнику любого вида. Следует только учесть положение центра.

Центр описанной около прямоугольного треугольника окружности лежит на середине гипотенузы.

Центр описанной около тупоугольного треугольника окружности лежит вне треугольника, напротив тупого угла.

 

Радиус окружности, описанной около прямоугольного треугольника

radius opisannoy okolo pryamougolnogo treugolnika okruzhnostiФормула:

    \[R = \frac{{AB}}{2}\]

То есть в прямоугольном треугольнике радиус описанной окружности равен половине гипотенузы.

Обычно гипотенузу обозначают через c (AB=c) и формулу записывают так:

    \[R = \frac{c}{2}\]

 

Радиус окружности, описанной около правильного треугольника

radius opisannoy okolo pravilnogo treugolnika okruzhnosti

Формула:

    \[R = \frac{a}{{\sqrt 3 }}\]

Если без иррациональности в знаменателе, то

    \[R = \frac{{a\sqrt 3 }}{3}\]

В равностороннем треугольнике радиус описанной окружности в два раза больше радиуса вписанной окружности:

    \[R = 2r\]

Добавить комментарий

Можно использовать следующие HTML-теги и атрибуты: <a href="" title=""> <abbr title=""> <acronym title=""> <b> <blockquote cite=""> <cite> <code> <del datetime=""> <em> <i> <q cite=""> <strike> <strong>