Следствие теоремы синусов

Следствие теоремы синусов

Отношение стороны треугольника к синусу противолежащего угла равно двум радиусам описанной около этого треугольника окружности:

    \[\frac{a}{{\sin \alpha }} = \frac{b}{{\sin \beta }} = \frac{c}{{\sin \gamma }} = 2R\]

sledstvie teoremyi sinusov

 

Дано: ∆ ABC,

окружность (O, R) — описанная,

BC=a, ∠A=α.

Доказать:

    \[\frac{a}{{\sin \alpha }} = 2R\]

Доказательство:

sledstvie iz teoremyi sinusovI. Если треугольник ABC — остроугольный.

Проведем из точки B диаметр BD.

∠D=∠A=α (как вписанные углы, опирающиеся на одну хорду BC).

∠BCD=90º (как вписанный угол, опирающийся на диаметр).

Из прямоугольного треугольника BCD по определению синуса острого угла прямоугольного треугольника

    \[\sin \angle BDC = \frac{{BC}}{{BD}},\]

BD=2R,

    \[\sin \alpha  = \frac{a}{{2R}},\]

    \[ \Rightarrow \frac{a}{{\sin \alpha }} = 2R.\]

Что и требовалось доказать.

I. Если треугольник ABC — тупоугольный.

sledstvie iz teoremyi sinusov formulasledstvie iz teoremyi sinusov dlya radiusa opisannoy okruzhnosti

 

В этом случае четырехугольник ABCD — вписанный в окружность, а значит, сумма его противолежащих углов равна 180º:

∠A+∠D=180º.

Отсюда ∠D=∠A=180º — α.

Так как

    \[\sin ({180^o} - \alpha ) = \sin \alpha ,\]

дальнейшее решение совпадает с решением I.

III. Если треугольник ABC — прямоугольный.

sledstvie iz teoremyi sinusov dlya R

 

∠C=90º,  AB — диаметр, AB=2R.

По определению синуса

    \[\sin \angle A = \frac{{BC}}{{AB}},\]

    \[\sin \alpha  = \frac{a}{{2R}}, \Rightarrow \]

    \[\frac{a}{{\sin \alpha }} = 2R.\]

 

Так как по теореме синусов

    \[\frac{a}{{\sin \alpha }} = \frac{b}{{\sin \beta }} = \frac{c}{{\sin \gamma }},\]

то

    \[\underline {\frac{a}{{\sin \alpha }} = \frac{b}{{\sin \beta }} = \frac{c}{{\sin \gamma }} = 2R.} \]

Добавить комментарий

Можно использовать следующие HTML-теги и атрибуты: <a href="" title=""> <abbr title=""> <acronym title=""> <b> <blockquote cite=""> <cite> <code> <del datetime=""> <em> <i> <q cite=""> <strike> <strong>