Теорема синусов

Теорема синусов.

Стороны треугольника пропорциональны синусам противолежащих углов.

teorema sinusov

 

Дано: ∆ ABC,

BC=a, AC=b, AB=c,

∠A=α, ∠B=β, ∠C=γ.

Доказать:

    \[\frac{a}{{\sin \alpha }} = \frac{b}{{\sin \beta }} = \frac{c}{{\sin \gamma }}\]

Доказательство:

teorema sinusov dokazatelstvo

 

1) Опустим из вершины C высоту CD.

2) Из прямоугольного треугольника ACD по определению синуса острого угла 

    \[\sin \angle A = \frac{{CD}}{{AC}}.\]

Отсюда

    \[\sin \alpha  = \frac{{CD}}{b}, \Rightarrow CD = b\sin \alpha .\]

3) Аналогично из треугольника BCD

    \[CD = a\sin \beta .\]

4) Приравниваем правые части полученных равенств:

    \[b\sin \alpha  = a\sin \beta .\]

Поделив обе части последнего равенства на произведение sinα∙sinβ, получим:

    \[\frac{b}{{\sin \beta }} = \frac{a}{{\sin \alpha }}.\]

teorema sinusov formula

5) Опустим из вершины A высоту AF.

6) Из прямоугольного треугольника ACF по определению синуса

    \[\sin \angle C = \frac{{AF}}{{AC}},\]

    \[\sin \gamma  = \frac{{AF}}{b}, \Rightarrow AF = b\sin \gamma .\]

7) Аналогично из треугольника ABF

    \[AF = c\sin \beta .\]

8) Приравниваем правые части:

    \[b\sin \gamma  = c\sin \beta ,\]

делим обе части равенства на произведение sinγ∙sinβ, получаем:

    \[\frac{b}{{\sin \beta }} = \frac{c}{{\sin \gamma }}.\]

    \[\left. \begin{array}{l} \frac{b}{{\sin \beta }} = \frac{a}{{\sin \alpha }}\\ \frac{b}{{\sin \beta }} = \frac{c}{{\sin \gamma }} \end{array} \right\} \Rightarrow \frac{a}{{\sin \alpha }} = \frac{b}{{\sin \beta }} = \frac{c}{{\sin \gamma }}\]

Что и требовалось доказать.

teorema sinusov dlya treugolnika

 

 

Замечание.

Если треугольник ABC тупоугольный, то все рассуждения и в этом случае сохраняются, поскольку 

    \[\sin ({180^o} - \alpha ) = \sin a.\]

Например, из треугольника BCD

    \[CD = a\sin ({180^o} - \beta ) = a\sin \beta .\]

В прямоугольном треугольника теорему синусов не принято использовать (достаточно применить определение синуса).

One Comment

  1. артём 11.11.2016 00:31 Ответить

    Спасибо

Добавить комментарий

Можно использовать следующие HTML-теги и атрибуты: <a href="" title=""> <abbr title=""> <acronym title=""> <b> <blockquote cite=""> <cite> <code> <del datetime=""> <em> <i> <q cite=""> <strike> <strong>