Площадь треугольника по сторонам

Найти площадь треугольника по трем сторонам можно с помощью формулы Герона.

Формула Герона:

    \[S = \sqrt {p(p - a)(p - b)(p - c)} ,\]

ploschad treugolnika po storonam

 

где p — полупериметр:

    \[p = \frac{{a + b + c}}{2}\]

a, b, c — длины сторон треугольника.

 

 

ploschad treugolnika po trem storonam

 

Дано:

∆ ABC,

AB=c, AC=b, BC=a,

    \[p = \frac{{a + b + c}}{2}\]

Доказать:

    \[{S_{\Delta ABC}} = \sqrt {p(p - a)(p - b)(p - c)} .\]

Доказательство:

В любом треугольнике всегда есть два острых угла.

nayti ploschad treugolnika po storonam

 

Проведем в треугольнике ABC высоту BD при условии, что углы A и C- острые

(если треугольник ABC тупоугольный либо прямоугольный, то в качестве угла B выбираем тупой либо прямой угол).

По теореме Пифагора, из прямоугольного треугольника ABD  

    \[B{D^2} = A{B^2} - A{D^2},\]

из прямоугольного треугольника BCD —

    \[B{D^2} = B{C^2} - C{D^2}.\]

Приравниваем правые части равенств:

    \[A{B^2} - A{D^2} = B{C^2} - C{D^2}.\]

BC² перенесем в правую часть, AD² — в левую:

    \[A{B^2} - B{C^2} = A{D^2} - C{D^2}.\]

    \[A{B^2} - B{C^2} = A{D^2} - C{D^2}.\]

Правую часть разложим по формуле разности квадратов:

    \[A{B^2} - B{C^2} = (AD - CD)(AD + CD).\]

Так как AD+CD=AC, то

    \[A{B^2} - B{C^2} = AC \cdot (AD - CD),\]

    \[{c^2} - {a^2} = b(AD - CD).\]

Отсюда 

    \[AD - CD = \frac{{{c^2} - {a^2}}}{b},AD + CD = b.\]

Сложим эти два равенства почленно и приведем правую часть к общему знаменателю:

    \[AD - CD + AD + CD = \frac{{{c^2} - {a^2}}}{b} + {b^{\backslash b}}\]

    \[2AD = \frac{{{c^2} - {a^2} + {b^2}}}{b},AD = \frac{{{c^2} - {a^2} + {b^2}}}{{2b}}.\]

    \[B{D^2} = A{B^2} - A{D^2} = (AB - AD)(AB + AD) = \]

    \[ = ({c^{\backslash 2b}} - \frac{{{c^2} - {a^2} + {b^2}}}{{2b}})({c^{\backslash 2b}} + \frac{{{c^2} - {a^2} + {b^2}}}{{2b}}) = \]

    \[ = \frac{{2bc - ({c^2} - {a^2} + {b^2})}}{{2b}} \cdot \frac{{2bc + ({c^2} - {a^2} + {b^2})}}{{2b}} = \]

    \[ = \frac{{(2bc - {c^2} + {a^2} - {b^2})(2bc + {c^2} - {a^2} + {b^2})}}{{4{b^2}}} = \]

    \[ = \frac{{({a^2} - ({b^2} - 2bc + {c^2}))(({b^2} + 2bc + {c^2}) - {a^2})}}{{4{b^2}}} = \]

    \[ = \frac{{({a^2} - {{(b - c)}^2})({{(b + c)}^2} - {a^2})}}{{4{b^2}}} = \]

    \[ = \frac{{(a - (b - c))(a + b - c)(b + c - a)(b + c + a)}}{{4{b^2}}} = \]

    \[ = \frac{{(a - b + c)(a + b - c)(b + c - a)(b + c + a)}}{{4{b^2}}}\]

Поскольку

    \[a + b + c = 2p,\]

    \[a - b + c = a + b + c - 2b = 2p - 2b = 2(p - b),\]

    \[a + b - c = a + b + c - 2c = 2p - 2c = 2(p - c),\]

    \[b + c - a = a + b + c - 2a = 2p - 2a = 2(p - a),\]

то

    \[B{D^2} = \frac{{2(p - b) \cdot 2(p - c) \cdot 2(p - a) \cdot 2p}}{{4{b^2}}} = \]

    \[ = \frac{{4p(p - b)(p - c)(p - a)}}{{{b^2}}}.\]

Отсюда,

    \[BD = \sqrt {\frac{{4p(p - b)(p - c)(p - a)}}{{{b^2}}}}  = \]

    \[ = \frac{{2\sqrt {p(p - b)(p - c)(p - a)} }}{b}.\]

По формуле 

    \[S = \frac{1}{2}a{h_a},\]

площадь треугольника ABC равна

    \[{S_{\Delta ABC}} = \frac{1}{2}AC \cdot BD.\]

Таким образом, 

    \[{S_{\Delta ABC}} = \frac{1}{2} \cdot b \cdot \frac{{2\sqrt {p(p - b)(p - c)(p - a)} }}{b} = \]

    \[ = \sqrt {p(p - b)(p - c)(p - a)} .\]

Что и требовалось доказать.

Добавить комментарий

Можно использовать следующие HTML-теги и атрибуты: <a href="" title=""> <abbr title=""> <acronym title=""> <b> <blockquote cite=""> <cite> <code> <del datetime=""> <em> <i> <q cite=""> <strike> <strong>