Площадь треугольника по стороне

Чтобы найти площадь треугольника по одной стороне, нужно знать также высоту, проведенную к этой стороне.

Площадь треугольника равна половине произведения стороны на высоту, проведенную к этой стороне.

Формула площади треугольника:

formula ploschadi treugolnika cherez storonu

 

    \[S = \frac{1}{2}a{h_a}\]

 

 

 

(индекс a внизу буквы h указывает, что высота проведена к стороне a), или просто

    \[S = \frac{1}{2}ah.\]

ploschad treugolnika po storone

 

Дано:

∆ ABC,

 

    \[CF \bot AB.\]

Доказать:

 

    \[{S_{\Delta ABC}} = \frac{1}{2}AB \cdot CF.\]

Доказательство:

ploschad treugolnika cherez storonu

 

1) Проведем через вершину C треугольника прямую, параллельную стороне AB, через вершину A — прямую, параллельную стороне BC.

Обозначим точку пересечения этих прямых через D.

2) Четырехугольник ABCD — параллелограмм (по определению).

Площадь параллелограмма равна произведению стороны на высоту, проведенную к этой стороне:

    \[{S_{ABCD}} = AB \cdot CF.\]

3) Рассмотрим треугольники ABC и CDA.

AB=CD, BC=AD (как противоположные стороны параллелограмма).

Сторона AC — общая.

Следовательно, треугольники ABC и CDA равны (по трем сторонам).

Равные фигуры имеют равные площади:

    \[{S_{\Delta ABC}} = {S_{\Delta CDA}},\]

    \[{S_{ABCD}} = 2{S_{\Delta ABC}}.\]

Отсюда, площадь треугольника ABC равна половине площади параллелограмма ABCD, то есть

    \[{S_{\Delta ABC}} = \frac{1}{2}AB \cdot CF.\]

Что и требовалось доказать.

Часто сторону треугольника, к которой проведена высота, называют основанием.

В этом случае формулировка правила для нахождения площади треугольника звучит немного иначе:

Площадь треугольника равна половине произведения его площади основания на высоту.

Добавить комментарий

Можно использовать следующие HTML-теги и атрибуты: <a href="" title=""> <abbr title=""> <acronym title=""> <b> <blockquote cite=""> <cite> <code> <del datetime=""> <em> <i> <q cite=""> <strike> <strong>