Площадь треугольника через радиус вписанной окружности

Как найти площадь треугольника через радиус вписанной окружности?

Площадь треугольника равна произведению радиуса вписанной в этот треугольник окружности на на его полупериметр.

ploschad treugolnika cherez radius vpisannoy okruzhnosti

Формула для нахождения площади треугольника через радиус вписанной окружности:

    \[S = pr,\]

    \[p = \frac{{a + b + c}}{2}\]

 

 

Дано:

∆ ABC,

окружность (O; r) — вписанная,

AB=c, BC=a, AC=b,

    \[p = \frac{{a + b + c}}{2}\]

Доказать:

    \[{S_{\Delta ABC}} = pr\]

Доказательство:

площадь треугольника через вписанную окружность

 

 

Рассмотрим треугольник AOC.

    \[OF \bot AC\]

(как радиус, проведенный в точку касания).

Следовательно, OF — высота треугольника AOC.

По формуле

    \[S = \frac{1}{2}a{h_a}\]

    \[{S_{\Delta AOC}} = \frac{1}{2}AC \cdot OF = \frac{1}{2}br.\]

ploschad treugolnika cherez

 

 

Аналогично найдем

площади

треугольников

AOB и BOC:

 

    \[{S_{\Delta AOB}} = \frac{1}{2}AB \cdot OD = \frac{1}{2}cr,\]

    \[{S_{\Delta BOC}} = \frac{1}{2}BC \cdot OK = \frac{1}{2}ar.\]

Так как площадь треугольника ABC равна сумме площадей этих треугольников, то

    \[{S_{\Delta ABC}} = {S_{\Delta AOC}} + {S_{\Delta AOB}} + {S_{\Delta BOC}} = \]

    \[ = \frac{1}{2}br + \frac{1}{2}cr+\frac{1}{2}ar = \frac{{a + b + c}}{2} \cdot r = pr.\]

Что и требовалось доказать.

Если требуется найти площадь треугольника через его периметр, формулу записывают так:

    \[S = \frac{1}{2}P \cdot r,\]

где P — периметр треугольника, r — радиус вписанной в этот треугольник окружности.

2 Comments

  1. Игорь 12.02.2015 20:42 Ответить

    Полезно, вспомнить курс школьной геометрии.
    Разработчики сайта дерзайте дальше.

Добавить комментарий

Можно использовать следующие HTML-теги и атрибуты: <a href="" title=""> <abbr title=""> <acronym title=""> <b> <blockquote cite=""> <cite> <code> <del datetime=""> <em> <i> <q cite=""> <strike> <strong>