Площадь треугольника через радиус описанной окружности

Как найти площадь треугольника через радиус описанной окружности?

Площадь треугольника равна частному от деления произведения сторон треугольника на четыре радиуса описанной около треугольника окружности.

ploschad treugolnika cherez radius opisannoy okruzhnosti

 

Формула для нахождения площади треугольника через радиус описанной окружности:

    \[S = \frac{{abc}}{{4R}}\]

Дано: ∆ ABC,

окружность (O; R) — описанная,

AB=c, BC=a, AC=b.

Доказать:

    \[{S_{\Delta ABC}} = \frac{{abc}}{{4R}}\]

Доказательство:

ploschad treugolnika cherez radius

 

1) Обозначим ∠A=α.

Площадь треугольника ABC

по двум сторонам и углу между ними

равна

    \[{S_{\Delta ABC}} = \frac{1}{2}AC \cdot AB \cdot \sin \angle A = \frac{1}{2}bc\sin \alpha .\]

2) По следствию из теоремы синусов,

    \[R = \frac{a}{{2\sin \alpha }}.\]

Выразим из этой формулы синус альфа

    \[\sin \alpha  = \frac{a}{{2R}}\]

и подставим полученное выражение в первую формулу

    \[{S_{\Delta ABC}} = \frac{1}{2}bc\sin \alpha  = \frac{1}{2}bc \cdot \frac{a}{{2R}} = \frac{{abc}}{{4R}}.\]

Что и требовалось доказать.

Добавить комментарий

Можно использовать следующие HTML-теги и атрибуты: <a href="" title=""> <abbr title=""> <acronym title=""> <b> <blockquote cite=""> <cite> <code> <del datetime=""> <em> <i> <q cite=""> <strike> <strong>