Радиус описанной окружности равнобедренного треугольника

Радиус описанной окружности равнобедренного треугольника можно найти по одной из общих формул радиуса окружности, описанной около треугольника.

Используя свойства равнобедренного треугольника, можно также получить дополнительные формулы.

I. Радиус описанной около треугольника окружности можно найти по формуле

    \[R = \frac{{abc}}{{4S}}\]

Площадь равнобедренного треугольника через длину основание a и боковую сторону b можно найти по формуле 

    \[S = \frac{a}{2}\sqrt {{b^2} - \frac{{{a^2}}}{4}} ,\]

соответственно, формула для нахождения радиуса описанной окружности для равнобедренного треугольника принимает вид:

    \[R = \frac{{a{b^2}}}{{4 \cdot \frac{a}{2}\sqrt {{b^2} - \frac{{{a^2}}}{4}} }},\]

отсюда

    \[R = \frac{{{b^2}}}{{2\sqrt {{b^2} - \frac{{{a^2}}}{4}} }}\]

    \[R = \frac{{{b^2}}}{{\sqrt {4{b^2} - {a^2}} }}.\]

II. Формула — следствие из теоремы синусов

    \[R = \frac{a}{{2\sin \alpha }} = \frac{b}{{2\sin \beta }} = \frac{c}{{2\sin \gamma }}\]

верна и для равнобедренного треугольника.

Радиус описанной около равнобедренного треугольника окружности:

    \[R = \frac{a}{{2\sin \alpha }} = \frac{b}{{2\sin \beta }},\]

где a — основание, b — боковая сторона, α — угол при вершине, β — угол при основании.

III. Радиус описанной окружности в равнобедренном треугольнике можно найти непосредственно, без использования общих формул.

Radius opisannoy okruzhnosti ravnobedrennogo treugolnika

Например, в прямоугольном треугольнике AOF AO=R, AF=b/2, ∠FAO=α/2. Отсюда

    \[\cos \angle FAO = \frac{{AF}}{{AO}},\]

    \[ \Rightarrow R = \frac{b}{{2\cos \frac{\alpha }{2}}}.\]

 

radius opisannoy okruzhnosti ravnobedrennyiy treugolnik

IV. В равнобедренном тупоугольном треугольнике центр описанной окружности лежит вне треугольника, напротив его вершины.

Радиус находят по тем же формулам, что и для остроугольного треугольника.

 

V. В равнобедренном прямоугольном треугольнике центр описанной окружности лежит на середине гипотенузы, радиус равен половине гипотенузы (то есть половине основания треугольника).

Radius opisannoy okruzhnosti v ravnobedrennom treugolnike

    \[R = \frac{{BC}}{2}\]

Если AB=a,

    \[R = \frac{a}{2}.\]

Добавить комментарий

Можно использовать следующие HTML-теги и атрибуты: <a href="" title=""> <abbr title=""> <acronym title=""> <b> <blockquote cite=""> <cite> <code> <del datetime=""> <em> <i> <q cite=""> <strike> <strong>