Площадь равнобедренного треугольника

Как найти площадь равнобедренного треугольника? Это можно сделать с помощью любой из формул для площади треугольника. Свойства равнобедренного треугольника эти формулы могут несколько видоизменить.

I. Площадь треугольника равна половине произведения стороны на проведенную к этой стороне высоту.

nayti ploschad ravnobedrennogo treugolnika

ploschad ravnobedrennogo treugolnika

 

 

    \[S = \frac{1}{2}a{h_a}\]

    \[S = \frac{1}{2}b{h_b}\]

 

 

 

В равнобедренном треугольнике высота, проведенная к основанию, совпадает с медианой. Поэтому FC=1/2 BC, то есть

    \[{S_{\Delta ABC}} = FC \cdot AF.\]

Этот факт стоит использовать, например, если нужно найти площадь равнобедренного треугольника, и известны его боковая сторона и высота, проведенная к основанию. В этом случае из прямоугольного треугольника треугольника AFC по теореме Пифагора найдем FC, 

    \[FC = \sqrt {{b^2} - h_a^2} ,\]

а затем сразу же — площадь

    \[S = {h_a}\sqrt {{b^2} - h_a^2} .\]

II. Площадь треугольника равна половине произведения двух сторон на синус угла между ними.

formula ploschadi ravnobedrennogo treugolnikakak nayti ploschad ravnobedrennogo treugolnika

 

    \[S = \frac{1}{2}{b^2}\sin \alpha \]

    \[S = \frac{1}{2}ab\sin \gamma \]

 

 

 

 

III. Площадь треугольника по трем сторонам ищут по формуле Герона. Поскольку в равнобедренном треугольнике две стороны равны, формула Герона для равнобедренного треугольника приобретает вид:

    \[S = \sqrt {p(p - a)(p - b)(p - b)}  = \]

    \[ = \sqrt {p(p - a){{(p - b)}^2}}  = \]

    \[ = (p - b)\sqrt {p(p - a)} .\]

Полупериметр

    \[p = \frac{{a + 2b}}{2} = \frac{a}{2} + b,\]

поэтому

    \[S = (\frac{a}{2} + b - b)\sqrt {(\frac{a}{2} + b)(\frac{a}{2} + b - a)}  = \]

    \[ = \frac{a}{2}\sqrt {(\frac{a}{2} + b)(b - \frac{a}{2})}  = \frac{a}{2}\sqrt {{b^2} - {{(\frac{a}{2})}^2}}  = \]

    \[ = \frac{a}{2}\sqrt {{b^2} - \frac{{{a^2}}}{4}} .\]

Специально запоминать эту формулу не нужно — практически, это формула из пункта I.

IV. Площадь треугольника через радиус вписанной окружности равна произведению радиуса на полупериметр.

Для равнобедренного треугольника

ploschad ravnobedrennogo treugolnika cherez radius

 

 

    \[S = pr = (\frac{a}{2} + b)r.\]

 

 

 

 

 

V. Площадь треугольника через радиус описанной окружности для равнобедренного треугольника приобретает вид:

ploschad ravnobedrennogo treugolnika cherez radius okruzhnosti

 

 

 

    \[S = \frac{{a{b^2}}}{{4R}}.\]

Добавить комментарий

Можно использовать следующие HTML-теги и атрибуты: <a href="" title=""> <abbr title=""> <acronym title=""> <b> <blockquote cite=""> <cite> <code> <del datetime=""> <em> <i> <q cite=""> <strike> <strong>