Наименьшая высота треугольника

Какая наименьшая высота у треугольника, какая — наибольшая? Как найти наименьшую (наибольшую) высоту треугольника, зная его площадь? Как найти наименьшую и наибольшую высоты по сторонам треугольника?

Площадь треугольника равна половине произведения стороны на проведенную к этой стороне высоту.

Таким образом,

    \[S = \frac{1}{2}a{h_a} = \frac{1}{2}b{h_b} = \frac{1}{2}c{h_c},\]

naimenshaya vyisota treugolnika

 

 

то есть произведение стороны на проведенную к ней высоту равны для каждой пары множителей:

    \[a{h_a} = b{h_b} = c{h_c}.\]

Следовательно,

наименьшая высота треугольника — та, которая проведена к его наибольшей стороне, а наибольшая высота треугольника — проведенная к наименьшей стороне.

Высота треугольника через его площадь равна частному от деления удвоенной площади на сторону, к которой эта высота проведена:

    \[{h_a} = \frac{{2S}}{a};{h_b} = \frac{{2S}}{b};{h_c} = \frac{{2S}}{c}\]

Площадь треугольника по сторонам находят по формуле Герона:

    \[S = \sqrt {p(p - a)(p - b)(p - c)} ,\]

где p — полупериметр,

    \[p = \frac{{a + b + c}}{2}.\]

Значит, формулы для нахождения любой высоты треугольника по его сторонам

    \[{h_a} = \frac{{2\sqrt {p(p - a)(p - b)(p - c)} }}{a};\]

    \[{h_b} = \frac{{2\sqrt {p(p - a)(p - b)(p - c)} }}{b};\]

    \[{h_c} = \frac{{2\sqrt {p(p - a)(p - b)(p - c)} }}{c}.\]

Добавить комментарий

Можно использовать следующие HTML-теги и атрибуты: <a href="" title=""> <abbr title=""> <acronym title=""> <b> <blockquote cite=""> <cite> <code> <del datetime=""> <em> <i> <q cite=""> <strike> <strong>