Наименьшая высота треугольника

Наименьшая высота треугольника

Sep.26,2014

Какая наименьшая высота у треугольника, какая — наибольшая? Как найти наименьшую (наибольшую) высоту треугольника, зная его площадь? Как найти наименьшую и наибольшую высоты по сторонам треугольника?

Площадь треугольника равна половине произведения стороны на проведенную к этой стороне высоту.

Таким образом,

$S = \frac{1}{2}a{h_a} = \frac{1}{2}b{h_b} = \frac{1}{2}c{h_c},$

naimenshaya vyisota treugolnika

то есть произведение стороны на проведенную к ней высоту равны для каждой пары множителей:

$a{h_a} = b{h_b} = c{h_c}.$

Следовательно,

наименьшая высота треугольника — та, которая проведена к его наибольшей стороне, а наибольшая высота треугольника — проведенная к наименьшей стороне.

Высота треугольника через его площадь равна частному от деления удвоенной площади на сторону, к которой эта высота проведена:

${h_a} = \frac{{2S}}{a};{h_b} = \frac{{2S}}{b};{h_c} = \frac{{2S}}{c}$

Площадь треугольника по сторонам находят по формуле Герона:

$S = \sqrt {p(p - a)(p - b)(p - c)} ,$

где p — полупериметр,

$p = \frac{{a + b + c}}{2}.$

Значит, формулы для нахождения любой высоты треугольника по его сторонам

${h_a} = \frac{{2\sqrt {p(p - a)(p - b)(p - c)} }}{a};$

${h_b} = \frac{{2\sqrt {p(p - a)(p - b)(p - c)} }}{b};$

${h_c} = \frac{{2\sqrt {p(p - a)(p - b)(p - c)} }}{c}.$

Добавить комментарий Отменить ответ