Радиус описанной окружности

Удобно, когда все формулы, по которым можно найти радиус описанной окружности для треугольника, квадрата, многоугольника размещены на одной странице.

Радиус описанной окружности для произвольного треугольника

Формулы для нахождения радиуса описанной окружности треугольника (верны для треугольника любого вида):

radius opisannoy okruzhnosti

    \[R = \frac{{abc}}{{4S}}\]

    \[R = \frac{a}{{2\sin \alpha }} = \frac{b}{{2\sin \beta }} = \frac{c}{{2\sin \gamma }},\]

где a, b, c — длины сторон треугольника, α, β, γ — противолежащие этим сторонам углы, S — площадь треугольника.

Центр описанной окружности лежит:

radius opisannoy okruzhnosti tupougolnogo treugolnika

у остроугольного треугольника — внутри треугольника;

у прямоугольного — на середине гипотенузы;

у тупоугольного — вне треугольника, напротив тупого угла.

Радиус описанной окружности для прямоугольного треугольника

radius opisannoy okruzhnosti pryamougolnogo treugolnika

Радиус описанной около прямоугольного треугольника окружности равен половине гипотенузы:

    \[R = \frac{c}{2}\]

 

 

Окружность, описанная около многоугольника

radius opisannoy okruzhnosti mnogougolnika

Если около многоугольника можно описать окружность, ее центр является точкой пересечения серединных перпендикуляров к сторонам многоугольника.

Радиус описанной около многоугольника окружности  находят как радиус окружности, описанной около треугольника. Для этого берут любые три вершины многоугольника.

Например, для пятиугольника ABCDE можно взять любой из треугольников ABC, ABD, ABE, BCD, BCE, CDE, ACD, ACE, ADE, BDE.

 

Радиус окружности, описанной около правильного многоугольника

Формула радиуса описанной окружности для правильного многоугольника

    \[R = \frac{a}{{2\sin \frac{{{{180}^o}}}{n}}}\]

где a — длина стороны многоугольника, n — количество его сторон.

Частные случаи — правильный треугольник, правильный четырехугольник (то есть квадрат), правильный шестиугольник.

Радиус описанной окружности правильного треугольника

radius opisannoy okruzhnosti ravnostoronnego treugolnikaФормула радиуса описанной окружности для правильного треугольника

    \[R = \frac{a}{{\sqrt 3 }}\]

Если без иррациональности в знаменателе —

    \[R = \frac{{a\sqrt 3 }}{3}.\]

У правильного треугольника радиус описанной окружности в два раза больше радиуса вписанной окружности:

    \[R = 2r\]

 

Радиус описанной окружности квадрата

radius opisannoy okruzhnosti kvadrata

Формула радиуса описанной окружности для квадрата

    \[R = \frac{a}{{\sqrt 2 }}\]

Если без иррациональности в знаменателе —

    \[R = \frac{{a\sqrt 2 }}{2}.\]

 

Радиус описанной окружности правильного шестиугольника

radius opisannoy okruzhnosti pravilnogo shestiugolnika

Формула радиуса описанной окружности для правильного шестиугольника

    \[R = a\]

Добавить комментарий

Можно использовать следующие HTML-теги и атрибуты: <a href="" title=""> <abbr title=""> <acronym title=""> <b> <blockquote cite=""> <cite> <code> <del datetime=""> <em> <i> <q cite=""> <strike> <strong>