Центр описанной окружности

Где находится центр описанной около треугольника окружности? Что можно сказать о центре окружности, описанной около многоугольника?

Теорема.

Центр описанной около треугольника окружности является точкой пересечения серединных перпендикуляров к сторонам треугольника.

 

tsentr okruzhnosti opisannoy okolo treugolnika

Дано: ∆ ABC,

окружность (O;R) — описанная около ∆ ABC.

Доказать:

O — точка пересечения серединных перпендикуляров к сторонам ∆ ABC.

Доказательство:

tsentr opisannoy okruzhnostiСоединим отрезками точки O и A, O и C.

OA=OC (как радиусы), следовательно, треугольник AOC — равнобедренный с основанием AC (по определению).

 

tsentr opisannoy okruzhnosti dlya treugolnikaПо свойству равнобедренного треугольника, высота и медиана, проведенные к основанию AC, совпадают):

    \[OF \bot AC,AF = CF.\]

Следовательно, центр описанной окружности — точка O — лежит на прямой, перпендикулярной стороне AC и проходящей через ее середину, то есть на серединном перпендикуляре к AC.

 

tsentr opisannoy okolo treugolnika okruzhnostiАналогично доказывается, что точка O лежит на серединном перпендикуляре к стороне AB.

Так как серединные перпендикуляры к сторонам треугольника пересекаются в одной точке, то точка O — центр описанной около треугольника ABC окружности.

Что и требовалось доказать.

Замечание.

Аналогичные рассуждения можно применить и для многоугольника, около которого можно описать окружность.

Центр описанной около многоугольника окружности является точкой пересечения серединных перпендикуляров к сторонам этого многоугольника.

2 Comments

  1. Максим 15.11.2018 11:28 Ответить

    Здравствуйте!

    на мой взгляд у вас опечатка — «Соединим отрезками точки O и A, O и C.

    OA=OB( написано ОВ вместо ОС) (как радиусы), следовательно, треугольник AOB — равнобедренный с основанием AC (по определению).»

    • admin 15.11.2018 13:24 Ответить

      Спасибо, Максим! Да, была опечатка.

Добавить комментарий