Радиус вписанной окружности

Удобно, когда все формулы, по которым можно найти радиус вписанной в треугольник и в многоугольник окружности, размещены на одной странице.

Радиус вписанной в многоугольник окружности

Если в многоугольник можно вписать окружность, то формула для вычисления радиуса вписанной окружности:

    \[r = \frac{S}{p},\]

где p — полупериметр, то есть полусумма длин всех сторон этого многоугольника.

radius vpisannoy okruzhnostiНапример, для пятиугольника со сторонами a, b, c, d, e радиус вписанной окружности находится по формуле

    \[r = \frac{S}{p},\]

    \[p = \frac{{a + b + c + d + e}}{2},\]

откуда

    \[S = \frac{{2S}}{{a + b + c + d + e}}.\]

По этой же формуле ищут радиус вписанной в треугольник окружности.

Радиус вписанной в треугольник окружности

formula radiusa vpisannoy v treugolnik okruzhnosti

Формула для нахождения радиуса вписанной в треугольник окружности (верна для треугольника любого вида)

    \[r = \frac{S}{p},\]

где p — полупериметр,

    \[p = \frac{{a + b + c}}{2},\]

где a, b, c — стороны треугольника.

Радиус вписанной в прямоугольный треугольник окружности

formula radiusa vpisannoy v pryamougolnyiy treugolnik okruzhnostiФормула для нахождения радиуса окружности, вписанной в прямоугольный треугольник

    \[r = \frac{{a + b - c}}{2},\]

где a и b — катеты, c — гипотенуза.

 

Радиус окружности, вписанной в правильный многоугольник

Формула радиуса вписанной в правильный многоугольник окружности

    \[r = \frac{a}{{2tg\frac{{{{180}^o}}}{n}}},\]

где a — сторона многоугольника, n — количество сторон.

Частные случаи — правильный (равносторонний) треугольник, правильный четырехугольник (квадрат) и правильный шестиугольник.

Радиус окружности, вписанной в правильный треугольник

radius vpisannoy v pravilnyiy treugolnik okruzhnostiФормула радиуса вписанной окружности для правильного треугольника:

    \[r = \frac{a}{{2\sqrt 3 }}\]

В правильном треугольнике радиус вписанной окружности вдвое меньше радиуса описанной окружности:

    \[r = \frac{R}{2}.\]

 

Радиус окружности, вписанной в квадрат

radius vpisannoy v kvadrat okruzhnosti

 

Формула радиуса вписанной в квадрат окружности:

    \[r = \frac{a}{2},\]

где a — сторона квадрата.

 

Радиус окружности, вписанной в правильный шестиугольник

radius vpisannoy v pravilnyiy shestiugolnik okruzhnosti

 

Формула радиуса вписанной в правильный шестиугольник окружности:

    \[r = \frac{{a\sqrt 3 }}{2},\]

где a — сторона правильного шестиугольника.

 

Для любого многоугольника центр вписанной окружности лежит в точке пересечения его биссектрис.

Добавить комментарий

Можно использовать следующие HTML-теги и атрибуты: <a href="" title=""> <abbr title=""> <acronym title=""> <b> <blockquote cite=""> <cite> <code> <del datetime=""> <em> <i> <q cite=""> <strike> <strong>