Радиус вписанной в треугольник окружности

Радиус вписанной в треугольник окружности можно найти по одной общей формуле.

Кроме того, для правильного и прямоугольного треугольников существуют дополнительные формулы.

Радиус вписанной в треугольник окружности для произвольного треугольника

radius vpisannoy v treugolnik okruzhnostiФормула для нахождения радиуса окружности, вписанной в произвольный треугольник: 

    \[r = \frac{S}{p},\]

где S — площадь треугольника, p — его полупериметр.

Для треугольника со сторонами a, b, c полупериметр

    \[p = \frac{{a + b + c}}{2},\]

и формулу можно записать так:

    \[r = \frac{{2S}}{{a + b + c}}.\]

Если нужно найти радиус вписанной в треугольник окружности по его сторонам, то площадь треугольника ищут по формуле Герона, соответственно, формула для нахождения радиуса треугольника по трем сторонам имеет вид:

    \[r = \frac{{2\sqrt {p(p - a)p - b)(p - c)} }}{{a + b + c}}.\]

 

Радиус вписанной в прямоугольный треугольник окружности

radius vpisannoy v pryamougolnyiy treugolnik okruzhnostiФормула для нахождения радиуса вписанной в прямоугольный треугольник окружности:

    \[r = \frac{{a + b - c}}{2},\]

где a, b — длины катетов, c — длина гипотенузы.

 

 

Радиус окружности, вписанной в правильный (то есть равносторонний) треугольник

radius vpisannoy v pravilnyiy treugolnik okruzhnostiФормула для нахождения радиуса окружности, вписанной в правильный треугольник:

    \[r = \frac{a}{{2\sqrt 3 }}\]

или (без иррациональности в знаменателе):

    \[r = \frac{{a\sqrt 3 }}{6},\]

где a -длина стороны правильного треугольника.

В правильном треугольнике радиус вписанной окружности также можно найти через радиус описанной окружности:

    \[r = \frac{R}{2}.\]

Добавить комментарий

Можно использовать следующие HTML-теги и атрибуты: <a href="" title=""> <abbr title=""> <acronym title=""> <b> <blockquote cite=""> <cite> <code> <del datetime=""> <em> <i> <q cite=""> <strike> <strong>