Радиус окружности, вписанной в равнобедренный треугольник

Радиус окружности, вписанной в равнобедренный треугольник, можно найти по стандартной формуле.

Свойства равнобедренного треугольника дают возможность получить дополнительные формулы. Рассмотрим некоторые из них.

radius okruzhnosti vpisannoy v ravnobedrennyiy treugolnik Поскольку для равнобедренного треугольника полупериметр

    \[p = \frac{a}{2} + b,\]

то

    \[r = \frac{S}{{\frac{a}{2} + b}} = \frac{{2S}}{{a + 2b}}.\]

Так как формула площади равнобедренного треугольника по формуле Герона равна

    \[S = \frac{a}{2}\sqrt {{b^2} - \frac{{{a^2}}}{4}} ,\]

то

    \[r = \frac{{2 \cdot \frac{a}{2}\sqrt {{b^2} - \frac{{{a^2}}}{4}} }}{{a + 2b}} = \frac{{a\sqrt {{b^2} - \frac{{{a^2}}}{4}} }}{{a + 2b}}.\]

Эту формулу можно упростить

    \[r = \frac{{a\sqrt {4{b^2} - {a^2}} }}{{2(a + 2b)}} = \frac{{a\sqrt {(2b - a)(2b + a)} }}{{2(2b + a)}}\]

Таким образом, радиус окружности, вписанной в равнобедренный треугольник, равен

    \[r = \frac{a}{2}\sqrt {\frac{{2b - a}}{{2b + a}}} .\]

Если найти площадь по боковой стороне  b и высоте, проведенной к основанию ha:

    \[S = {h_a}\sqrt {{b^2} - h_a^2} ,\]

    \[p = b + \sqrt {{b^2} - h_a^2} ,\]

то получим еще одну формулу для нахождения радиуса вписанной в равнобедренный треугольник окружности:

    \[r = \frac{{{h_a}\sqrt {{b^2} - h_a^2} }}{{b + \sqrt {{b^2} - h_a^2} }}\]

radius vpisannoy v ravnobedrennyiy treugolnik okruzhnostiТак как центр вписанной в треугольник окружности является точкой пересечения биссектрис треугольника, если известны углы при вершине и основании

    \[\angle ACB = \alpha ,\angle BAC = \beta ,\]

то

    \[\angle ACF = \frac{\alpha }{2},\angle FAO = \frac{\beta }{2}\]

Из прямоугольного треугольника AOF

    \[tg\angle FAO = \frac{{OF}}{{AF}},\]

    \[r = \frac{a}{2}tg\frac{\beta }{2}\]

Если известна боковая сторона и угол при основании, из прямоугольного треугольника ACF найдем AF

    \[AF = AC\cos \angle ACF = b\cos \beta ,\]

а затем из треугольника AOF — OF:

    \[r = b\cos \beta tg\frac{\beta }{2}.\]

Эти формулы могут помочь ускорить вычисления. Запоминать их необязательно, достаточно повторить рассуждения.

Добавить комментарий

Можно использовать следующие HTML-теги и атрибуты: <a href="" title=""> <abbr title=""> <acronym title=""> <b> <blockquote cite=""> <cite> <code> <del datetime=""> <em> <i> <q cite=""> <strike> <strong>