Найти радиус описанной около трапеции окружности

Рассмотрим задачи, в которых нужно найти радиус описанной около трапеции окружности.

1) Найти радиус окружности, описанной около трапеции, основания которой равны 11 см и 21 см, а диагональ — 20 см.

najti-radius-opisannoj-okolo-trapecii-okruzhnostiДано: ABCD — трапеция, AD∥BC, AD=21 см, BC=11 см, BD=20 см, окружность (O; R) — описанная около ABCD.

Найти: R.

Анализ задачи.

Радиус описанной около трапеции окружности можно найти как радиус окружности, описанной около треугольника ABD:

    \[R = \frac{{BD}}{{2\sin \angle A}}\]

Таким образом, задача сводится к нахождению синуса угла A.

Решение:

1) Описать окружность можно только около равнобедренной трапеции, следовательно, CD=AB.

2) Проведём высоту трапеции BF.

По свойству равнобедренной трапеции,

    \[AF = \frac{{AD - BC}}{2},\]

    \[AF = \frac{{21 - 11}}{2} = 5(cm).\]

Тогда FD=AD-AF=21-5=16 (см).

3) Рассмотрим треугольник BDF. ∠BFD=90º (так как BF — высота трапеции).

По теореме Пифагора,

    \[B{D^2} = B{F^2} + F{D^2}\]

    \[BF = \sqrt {B{D^2} - F{D^2}} \]

    \[BF = \sqrt {{{20}^2} - {{16}^2}}  = 12(cm).\]

4) Рассмотрим прямоугольный треугольник ABF.

По теореме Пифагора

    \[AB = \sqrt {A{F^2} + B{F^2}} \]

    \[AB = \sqrt {{5^2} + {{12}^2}}  = 13(cm).\]

По определению синуса,

    \[\sin \angle A = \frac{{BF}}{{AB}} = \frac{{12}}{{13}}.\]

5) По формуле

    \[R = \frac{a}{{2\sin \alpha }},\]

    \[R = \frac{{BD}}{{2\sin \angle A}}\]

    \[R = \frac{{20}}{{2 \cdot \frac{{12}}{{13}}}} = \frac{{20 \cdot 13}}{{2 \cdot 12}} = \frac{{5 \cdot 13}}{6} = \frac{{65}}{6} = 10\frac{5}{6}(cm).\]

Ответ: 10 5/6 см.

2) Найти радиус описанной около трапеции окружности, если известно, что её боковые сторона и меньшее основание равны 10 см, а один из углов 60º.

najti-radius-opisannoj-okruzhnosti-dlya-trapeciiДано: ABCD — трапеция, AD∥BC,

AB=BC=CD=10 см, ∠D=60º,

окружность (O;R) — описанная около ABCD.

Найти: R.

Решение:

Проведём диагональ BD.

radius-opisannoj-okruzhnosti-trapecii-storona-ravna-osnovaniyuТреугольник ABC — равнобедренный с основанием AC (AB=BC по условию).

Следовательно, ∠BAC=∠BCA (как углы при основании).

∠BCA=∠DAC (как внутренние накрест лежащие при AD∥BC и секущей AC).

Отсюда ∠BAC=∠DAC, то есть диагональ AC является биссектрисой угла BAD.

∠BAD=∠D=60º (как углы при основании равнобедренной трапеции). Поэтому 

    \[\angle DAC = \frac{1}{2}\angle BAD = \frac{1}{2} \cdot {60^o} = {30^o}.\]

Рассмотрим треугольник ACD.

Так как сумма углов треугольника равна 180º,

∠ACD=180º-(∠DAC+∠D)=180º-(30º+60º)=90º.

Значит, вписанный угол ACD опирается на диаметр.

Катет, лежащий напротив угла в 30 градусов, равен половине гипотенузы. Поэтому AD=2∙CD=2∙10=20(см). Следовательно, радиус

    \[R = \frac{1}{2}AD = \frac{1}{2} \cdot 20 = 10(cm).\]

Ответ: 10 см.

Добавить комментарий

Можно использовать следующие HTML-теги и атрибуты: <a href="" title=""> <abbr title=""> <acronym title=""> <b> <blockquote cite=""> <cite> <code> <del datetime=""> <em> <i> <q cite=""> <strike> <strong>