Вписанный угол, опирающийся на диаметр

Вписанный угол, опирающийся на диаметр, обладает полезным свойством, вытекающим из теоремы о вписанном угле.

Свойство вписанного угла, опирающегося на диаметр

(следствие из теоремы о вписанном угле)

Вписанный угол, опирающийся на диаметр, прямой.

vpisannyj-ugol-opirayushchijsya-na-diametrДано:

∠ABC — вписанный,

AC — диаметр.

Доказать:∠ABC=90º.

Доказательство:

Так как AC- диаметр, то ∠AOC=180º.

∠AOC — центральный, ∠ABC — соответствующий ему вписанный угол.

diametr-viden-pod-uglomСледовательно, по теореме о вписанном угле,

    \[\angle ABC = \frac{1}{2}\angle AOC = \]

    \[ = \frac{1}{2} \cdot {180^o} = {90^o}.\]

Что и требовалось доказать.

 

Из этого следует, например, что если центр описанной окружности лежит на стороне треугольника, то угол напротив этой стороны — прямой.

Если центр описанной окружности лежит на диагонали четырехугольника, то угол напротив этой диагонали — прямой.

Другой вариант формулировки следствия:

Диаметр виден из любой точки окружности под углом 90º.

Если вписанный угол связать с дугой, то следствие из теоремы о вписанном угле звучит так:

vpisannyj-ugol-opiraetsya-na-poluokruzhnost

 

Вписанный угол, опирающийся на полуокружность — прямой.

 

Добавить комментарий

Можно использовать следующие HTML-теги и атрибуты: <a href="" title=""> <abbr title=""> <acronym title=""> <b> <blockquote cite=""> <cite> <code> <del datetime=""> <em> <i> <q cite=""> <strike> <strong>