Задачи на вписанные углы

Рассмотрим некоторые задачи на вписанные углы.

 

1) По данным рисунка 1 найти угол AOB,

если ∠ACB=125º.

 

 

Решение:

Дуги ACB и AKB дополняют друг друга до окружности. Следовательно, сумма их градусных мер равна 360º.

∠ACB — вписанный угол, опирающийся на дугу AKB.

Значит, градусная мера дуги равна

   

   

AOB — центральный угол, опирающийся на дугу ACB, поэтому его градусная мера равна градусной меры этой дуги, то есть, ∠AOB=110º.

Ответ: 110º.

2) Точки C и D окружности лежат по одну сторону от диаметра AB.

Найти угол ABD, если ∠BCD=34º.

 

Решение:

Соединим точки A и D.

Рассмотрим треугольник ABD.

∠ADB=90º (как вписанный угол, опирающийся на диаметр).

∠BAD=∠BCD (как вписанные углы, опирающиеся на одну дугу BD).

Так как сумма острых углов прямоугольного треугольника равна 90º, то ∠ABD=90º-∠BAD=90º-34º=56º.

Ответ: 56º.

 

2) В окружности с центром O проведены диаметры AF и BC. Точки C и K  окружности лежат по одну сторону от диаметра AF.

Найти угол BCK, если ∠ABC=62º, ∠AFK=20º.

Решение:

1) Проведем отрезки KC и AC.

2) Рассмотрим треугольник ABC.

∠BAC=90º (как вписанный угол, опирающийся на диаметр).

Поскольку сумма острых углом прямоугольного треугольника равна 90º, ∠ACB=90º-∠ABC=90º-62º=28º.

3) ∠ACK=∠AEK=20º (как вписанные углы, опирающиеся на одну дугу).

4) ∠BCK=∠ACK+∠ACB=20º+28º=48º.

Ответ: 48º.

Как правило, решение задач на вписанные в окружность углы можно выполнить несколькими способами. Мы рассмотрели только один вариант в каждом случае, но могут быть и другие.

Решение задач на вписанные в окружность треугольники и четырехугольники во многих случаях также сводится к рассмотрению вписанных и центральных углов (или дуг).