Углы при основании равнобедренной трапеции

Утверждение.

(Свойство равнобедренной трапеции)

Углы при основании равнобедренной трапеции равны.

uglyi pri osnovanii ravnobedrennoy trapetsii

 

    \[\angle A = \angle D\]

    \[\angle B = \angle C\]

 

 

uglyi pri osnovanii ravnobedrennoy trapetsii ravnyiДано: ABCD — трапеция,

AD ∥ BC,AB=CD.

Доказать:∠A=∠D, ∠B=∠C.

Доказательство:

 

uglyi ravnobedrennoy trapetsii1) Проведем из вершин тупых углов высоты BF и CK:

    \[BF \bot AD,BF \bot BC,\]

    \[CK \bot AD,CK \bot BC.\]

2) Рассмотрим треугольники ABF и DCK.

∠AFB=90º, ∠DKC=90º (так как BF и CK — высоты трапеции).

AB=CD (по условию),

BF=CK (как высоты трапеции).

Отсюда следует, что треугольники ABF и DCK равны (по катету и гипотенузе).

3) Из равенства треугольников следует равенство соответствующих углов: ∠A=∠D.

4) ∠A+∠ABC=180º (как внутренние односторонние при AD ∥ BC и секущей AB).

Отсюда, ∠ABC=180º-∠A.

Аналогично, ∠D+∠DCB — внутренние односторонние при AD ∥ BC и секущей CD, и ∠DCB=180º-∠D.

Так как ∠A=∠D, то и ∠ABC=∠DCB.

Что и требовалось доказать.

Добавить комментарий

Можно использовать следующие HTML-теги и атрибуты: <a href="" title=""> <abbr title=""> <acronym title=""> <b> <blockquote cite=""> <cite> <code> <del datetime=""> <em> <i> <q cite=""> <strike> <strong>