Высота равнобедренной трапеции

Это свойство равнобедренной трапеции удобно доказать в общем виде в начале изучения темы, чтобы в дальнейшем использовать его при решении задач.

Утверждение.

Высота равнобедренной трапеции, опущенная из вершины на большее основание, делит его на два отрезка, один из которых равен полусумме оснований, а другой — полуразности оснований.

vyisota ravnobedrennoy trapetsiiAD=a,

BC=b

    \[AF = \frac{{a - b}}{2}\]

    \[DF = \frac{{a + b}}{2}\]

 

vyisota ravnobedrennoy trapetsii provedennaya iz tupogo uglaДано: ABCD — трапеция,

AD ∥ BC, AB=CD, AD>BC,

AD=a, BC=b,

    \[BF \bot AD\]

Доказать:

    \[AF = \frac{{a - b}}{2}\]

    \[DF = \frac{{a + b}}{2}\]

Доказательство:

v ravnobedrennoy trapetsii vyisota delit1) Проведем высоту CK:

    \[CK \bot AD,CK \bot BC.\]

2) Четырехугольник ABCD — прямоугольник (так как у него все углы прямые). Следовательно, его противоположные стороны равны: FK=BC=b.

3) Рассмотрим треугольники ABF и DCK.

∠AFB=90º, ∠DKC=90º (так как BF и CK — высоты трапеции).

AB=CD (по условию),

BF=CK (как высоты трапеции).

Следовательно, треугольники ABF и DCK равны (по катету и гипотенузе).

Из равенства треугольников следует равенство соответствующих сторон:

    \[AF = KD = \frac{{AD - FK}}{2} = \frac{{a - b}}{2}.\]

    \[FD = FK + KD = {b^{\backslash 2}} + \frac{{a - b}}{2} = \]

    \[ = \frac{{2b + a - b}}{2} = \frac{{a + b}}{2}.\]

Что и требовалось доказать.

Поскольку средняя линия трапеции равна полусумме ее оснований, длина отрезка FD равна длине среднее линии трапеции.

Добавить комментарий

Можно использовать следующие HTML-теги и атрибуты: <a href="" title=""> <abbr title=""> <acronym title=""> <b> <blockquote cite=""> <cite> <code> <del datetime=""> <em> <i> <q cite=""> <strike> <strong>