Если в четырехугольнике все углы равны

Если в четырехугольнике все углы равны, то что можно сказать о таком четырехугольнике?

Теорема.

(5-й признак прямоугольника)

Если в четырехугольнике все углы равны, то этот четырехугольник является прямоугольником.

esli v chetyirehugolnike vse uglyi ravnyi

Дано:

ABCD- четырехугольник,

∠A=∠B=∠C=∠D.

Доказать:

ABCD — прямоугольник.

Доказательство:

1) Так как сумма углов выпуклого четырехугольника равна 360º, то

∠A=∠B=∠C=∠D=360º:4=90º.

2) Если у четырехугольника три угла прямые, то этот четырехугольник — прямоугольник (по 4-му признаку).

Значит, ABCD — прямоугольник.

Что и требовалось доказать.

 

Замечание.

Если утверждение о сумме углов выпуклого четырехугольника к началу изучения темы «Прямоугольник» еще не было доказано, это можно сделать непосредственно в доказательстве 5-го признака прямоугольника.

Тогда 1-й пункт принимает такой вид:

esli vse uglyi chetyirehugolnika ravnyi

1) Проведем в четырехугольнике ABCD диагональ AC.

Она разбивает четырехугольник на треугольники

ABC и ADC.

Сумма углов каждого треугольника равна 180º, поэтому

∠BAC+∠ABC+∠BCA=180º и ∠ACD+∠CDA+∠DAC=180º.

Сумма углов четырехугольника ABCD равна сумме углов этих треугольников:

∠A+∠B+∠C+∠D=∠BAC+∠ABC+∠BCA+∠ACD+∠CDA+∠DAC=180º+180º=360º.

По условию, в четырехугольнике ABCD все углы равны. Поэтому ∠A=∠B=∠C=∠D=360º:4=90º.

Пункт 2-й в этом случае не меняется.

Добавить комментарий

Можно использовать следующие HTML-теги и атрибуты: <a href="" title=""> <abbr title=""> <acronym title=""> <b> <blockquote cite=""> <cite> <code> <del datetime=""> <em> <i> <q cite=""> <strike> <strong>