Если около параллелограмма можно описать окружность

Если около параллелограмма  можно описать окружность, то что можно сказать о его свойствах?

Теорема

(6-й признак прямоугольника)

Если около параллелограмма можно описать окружность, то он является прямоугольником.

esli okolo parallelogramma mozhno opisat okruzhnost

 

Дано: ABCD — четырехугольник,

окружность (O; R) — описанная.

Доказать: ABCD — прямоугольник.

Доказательство:

1) Поскольку около четырехугольника можно описать окружность тогда и только тогда, когда сумма его противолежащих углов равна, то

∠A+∠C=180º,

∠B+∠D=180º.

2) Так как противолежащие углы параллелограмма равны, то

∠A=∠C=180º :2=90º,

∠B=∠D=180º :2=90º.

3) Имеем:

ABCD — параллелограмм (по условию), у которого все углы прямые (по доказанному).

Следовательно, ABCD — прямоугольник (по определению).

Что и требовалось доказать.

Добавить комментарий

Можно использовать следующие HTML-теги и атрибуты: <a href="" title=""> <abbr title=""> <acronym title=""> <b> <blockquote cite=""> <cite> <code> <del datetime=""> <em> <i> <q cite=""> <strike> <strong>