Если около параллелограмма можно описать окружность, то что можно сказать о его свойствах?
Теорема
(6-й признак прямоугольника)
Если около параллелограмма можно описать окружность, то он является прямоугольником.
Дано: ABCD — четырехугольник,
окружность (O; R) — описанная.
Доказать: ABCD — прямоугольник.
Доказательство:
1) Поскольку около четырехугольника можно описать окружность тогда и только тогда, когда сумма его противолежащих углов равна, то
∠A+∠C=180º,
∠B+∠D=180º.
2) Так как противолежащие углы параллелограмма равны, то
∠A=∠C=180º :2=90º,
∠B=∠D=180º :2=90º.
3) Имеем:
ABCD — параллелограмм (по условию), у которого все углы прямые (по доказанному).
Следовательно, ABCD — прямоугольник (по определению).
Что и требовалось доказать.