В параллелограмм вписана окружность

Если в условии задачи сказано, что в параллелограмм вписана окружность, то что сразу можно сказать об этом параллелограмме?

Для этого надо вспомнить, когда в четырехугольник можно вписать окружность. Это можно сделать лишь в том случае, если суммы противолежащих сторон четырехугольника равны.

Это условие выполняется только для  тех параллелограммов, у которых все стороны равны, то есть только для ромба (и квадрата, как частного случая ромба).

Следовательно, если известно, что в параллелограмм можно вписать окружность, сразу можно сделать вывод, что все его стороны равны, и для него справедливы все свойства ромба. Если же дополнительно сказано, что хотя бы один из углов этого параллелограмма прямой, то такой параллелограмм — квадрат.

Радиус вписанной в ромб окружности можно найти по формуле

    \[r = \frac{S}{p},\]

где S — площадь ромба, p — его полупериметр;

или как половину высоты ромба

    \[r = \frac{1}{2}h\]

Задачи.

1) В параллелограмм вписана окружность. Найти периметр параллелограмма, если одна из его сторон равна 10 см.

Решение:

Из всех параллелограммов вписать окружность можно только в ромб (и квадрат). У ромба все стороны равны.

Периметр ромба

    \[P = 4a = 4 \cdot 10 = 40(cm).\]

Ответ: 40 см.

2) В параллелограмм вписана окружность. Найти её радиус, если высота параллелограмма равна 12 см.

Решение:

Из параллелограммов вписать окружность можно в ромб (и квадрат). Радиус вписанной в ромб (и квадрат) окружности равен половине его высоты:

    \[r = \frac{1}{2}h = \frac{1}{2} \cdot 12 = 6cm.\]

Ответ: 6 см.

3) В параллелограмм вписана окружность. Найти её радиус, если диагонали параллелограмма равны 6 см и 8 см.

Решение:

v-parallelogramm-vpisana-okruzhnostИз всех параллелограммов окружность можно вписать в ромб (и квадрат. У квадрата диагонали равны, следовательно, в задаче речь идёт о ромбе).

Пусть ABCD — ромб, AC=6 см, BD=8 см.

Рассмотрим треугольник AOB.

По свойствам ромба, ∠AOB=90,

    \[AO = \frac{1}{2}AC = 3cm,\]

    \[BO = \frac{1}{2}BD = 4cm.\]

По теореме Пифагора 

    \[AB = \sqrt {A{O^2} + B{O^2}} \]

    \[AB = \sqrt {{3^2} + {4^2}}  = \sqrt {25}  = 5cm.\]

Площадь ромба равна

    \[S = \frac{1}{2}{d_1} \cdot {d_2}\]

    \[{S_{ABCD}} = \frac{1}{2}AC \cdot BD = \frac{1}{2} \cdot 6 \cdot 8 = 24c{m^2}\]

полупериметр — p=2a=2∙AB=25=10 см.

Следовательно, радиус вписанной окружности равен

    \[r = \frac{S}{p} = \frac{{24}}{{10}} = 2,4cm.\]

Ответ: 2,4 см.

Добавить комментарий

Можно использовать следующие HTML-теги и атрибуты: <a href="" title=""> <abbr title=""> <acronym title=""> <b> <blockquote cite=""> <cite> <code> <del datetime=""> <em> <i> <q cite=""> <strike> <strong>