Вписанная в ромб окружность

Какими свойствами обладает вписанная в ромб окружность? Как найти её радиус?

vpisannaya-v-romb-okruzhnostЦентр вписанной в ромб окружности — точка пересечения его диагоналей.

Радиус вписанной в ромб окружности можно найти по общей формуле

    \[r = \frac{S}{p},\]

где S — площадь ромба, p — его полупериметр.

Так как полупериметр ромба равен p=2a, где a — сторона ромба, эту формулу можно записать как

    \[r = \frac{S}{{2a}}\]

С учётом формул для нахождения площади ромба:

    \[r = \frac{{{a^2}\sin \alpha }}{{2a}} = \frac{1}{2}a\sin \alpha ,\]

где α — угол ромба (причем α может быть как острым, так и тупым).

    \[r = \frac{{\frac{1}{2}{d_1} \cdot {d_2}}}{{2a}} = \frac{{{d_1} \cdot {d_2}}}{{4a}},\]

где d1и d2 — диагонали ромба.

Таким образом, еще две формулы радиуса вписанной в ромб окружности:

    \[r = \frac{1}{2}a\sin \alpha ,\]

    \[r = \frac{{{d_1} \cdot {d_2}}}{{4a}}\]

Так как диаметр вписанной окружности равен высоте ромба, радиус равен половине высоты ромба:

    \[r = \frac{1}{2}h\]

radius-vpisannoj-v-romb-okruzhnostiЕсли известно, что точка касания вписанной окружности делит сторону ромба на отрезки, то радиус можно выразить через длины этих отрезков.

Так как диагонали ромба взаимно перпендикулярны и радиус, проведённый в точку касания, перпендикулярен стороне, то по свойству высоты прямоугольного треугольника из треугольника AOD имеем

    \[OK = \sqrt {AK \cdot KD} \]

Следовательно, радиус вписанной в ромб окружности есть среднее пропорциональное между отрезками, на которые делит сторону точка касания:

    \[r = \sqrt {m \cdot n} \]

Добавить комментарий

Можно использовать следующие HTML-теги и атрибуты: <a href="" title=""> <abbr title=""> <acronym title=""> <b> <blockquote cite=""> <cite> <code> <del datetime=""> <em> <i> <q cite=""> <strike> <strong>