Высота прямоугольного треугольника

Высота прямоугольного треугольника, проведенная к гипотенузе, может быть найдена тем или иным способом в зависимости от данных в условии задачи.

vyisota pryamougolnogo treugolnika Длина высоты прямоугольного треугольника, проведенной к гипотенузе, может быть найдена по формуле

    \[AK = \sqrt {BK \cdot KC} \]

или, в другой записи,

    \[A{K^2} = BK \cdot KC,\]

где BK и KC — проекции катетов на гипотенузу (отрезки, на которые высота делит гипотенузу).

Высоту, проведенную к гипотенузе, можно найти через площадь прямоугольного треугольника. Если применить формулу для нахождения площади треугольника

    \[S = \frac{1}{2}a \cdot {h_a}\]

(половина произведения стороны на высоту, проведенную к этой стороне) к гипотенузе и высоте, проведенной к гипотенузе, получим:

    \[{S_{\Delta ABC}} = \frac{1}{2}BC \cdot AK.\]

Отсюда можем найти высоту как отношение удвоенной площади треугольника к длине гипотенузы:

    \[AK = \frac{{2{S_{\Delta ABC}}}}{{BC}}.\]

Так как площадь прямоугольного треугольника равна половине произведения катетов:

    \[{S_{\Delta ABC}} = \frac{1}{2}AB \cdot AC,\]

    \[AK = \frac{{2 \cdot \frac{1}{2}AB \cdot AC}}{{BC}} = \frac{{AB \cdot AC}}{{BC}}.\]

То есть длина высоты, проведенной к гипотенузе, равна отношению произведения катетов к гипотенузе. Если обозначить длины катетов через a  и b, длину гипотенузы — через с, формулу можно переписать в виде

    \[{h_c} = \frac{{ab}}{c}.\]

Так как радиус окружности, описанной около прямоугольного треугольника, равен половине гипотенузы, длину высоты можно выразить через катеты и радиус описанной окружности:

    \[{h_c} = \frac{{ab}}{{2R}}.\]

Поскольку проведенная к гипотенузе высота образует еще два прямоугольных треугольника, ее длину можно найти через соотношения в прямоугольном треугольнике.

Из прямоугольного треугольника ABK

    \[AK = AB \cdot \sin \angle B\]

 

    \[AK = BK \cdot tg\angle B\]

Из прямоугольного треугольника ACK 

    \[AK = AC \cdot \sin \angle C\]

 

    \[AK = KC \cdot tg\angle C.\]

Длину высоты прямоугольного треугольника можно выразить через длины катетов. Так как

    \[{h_c} = \frac{{ab}}{c},\]

по теореме Пифагора

    \[{c^2} = {a^2} + {b^2}\]

    \[{h_c} = \frac{{ab}}{{\sqrt {{a^2} + {b^2}} }}.\]

Если возвести в квадрат обе части равенства:

    \[{h_c}^2 = \frac{{{a^2}{b^2}}}{{{a^2} + {b^2}}},\]

можно получить еще одну формулу для связи высоты прямоугольного треугольника с катетами:

    \[\frac{1}{{{h_c}^2}} = \frac{{{a^2} + {b^2}}}{{{a^2}{b^2}}} = \frac{{{a^2}}}{{{a^2}{b^2}}} + \frac{{{b^2}}}{{{a^2}{b^2}}} = \frac{1}{{{a^2}}} + \frac{1}{{{b^2}}}.\]

2 Comments

  1. Agnesh 03.11.2015 21:04 Ответить

    спасибо админу

Добавить комментарий

Можно использовать следующие HTML-теги и атрибуты: <a href="" title=""> <abbr title=""> <acronym title=""> <b> <blockquote cite=""> <cite> <code> <del datetime=""> <em> <i> <q cite=""> <strike> <strong>