Медиана треугольника является его высотой

Какой вывод можно сделать из того, что медиана треугольника является его высотой?

Утверждение.

Если медиана треугольника является его высотой, то этот треугольник — равнобедренный.

mediana treugolnika yavlyaetsya ego vyisotoy Дано:

∆ ABC,

CF — высота и медиана

Доказать:

∆ ABC — равнобедренный.

Сначала наметим план доказательства. Что означает, что треугольник равнобедренный? Это значит, что у него две стороны равны. Значит, нам надо доказать, что в ∆ ABC две стороны равны: AC=BC. Равенство сторон следует из равенства треугольников. Следовательно, нам нужно будет доказать равенство двух треугольников. Каких? ∆ AFC и ∆ BFC.

Что нам известно их условия задачи? CF — высота, значит, СF перпендикулярна AB, поэтому углы AFC и BFC — прямые.

Еще знаем, что CF — медиана. Значит, она делит стороны AB на две равные части: AF=BF.  Таким образом, два пункта из трех для доказательства равенства треугольников уже есть.

esli mediana treugolnika yavlyaetsya ego vyisotoy Выделим треугольники разными цветами.

Этот прием позволяет увидеть, что сторона СF — общая.

Три пункта есть.

Переходим к записи доказательства.

 

Доказательство:

Рассмотрим ∆ AFC и ∆ BFC.

1) ∠AFC=∠BFC=90º (так как CF — высота треугольника ABC по условию).

2) AF=BF (так как CF — медиана треугольника ABC по условию).

3) Сторона CF — общая.

Следовательно, ∆ AFC = ∆ BFC (по двум сторонам и углу между ними).

Из равенства треугольников следует равенство соответствующих сторон: AC=BC. Значит, ∆ ABC — равнобедренный с основанием AB (по определению равнобедренного треугольника).

Что и требовалось доказать.

Если в треугольнике все высоты и медианы совпадают, то треугольник — равносторонний (каждые две стороны между собой равны, следовательно, равны все три стороны).

 

 

 

Добавить комментарий

Можно использовать следующие HTML-теги и атрибуты: <a href="" title=""> <abbr title=""> <acronym title=""> <b> <blockquote cite=""> <cite> <code> <del datetime=""> <em> <i> <q cite=""> <strike> <strong>